Mostrar esta integral $$I=\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{a^2+1-2ax}\sqrt{b^2+1-2bx}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ln{\dfrac{1+\sqrt{ab}}{1-\sqrt{ab}}}$$ donde $0<a,b<1$
mi idea: dejar que \begin{align*}&(-2ax+a^2+1)(-2bx+b^2+1)=4abx^2-2(a+b+a^2b+b^2a)x+(a^2+1)(b^2+1)\\ &=4ab\left(x-\dfrac{a+b+a^2b+b^2a}{2\sqrt{ab}}\right)^2+(a^2+1)(b^2+1)-\dfrac{4ab(a+b+a^2b+b^2a)^2}{4ab}\\ &=4ab\left(x-\dfrac{a+b+a^2b+b^2a}{2\sqrt{ab}}\right)^2+(a^2+1)(b^2+1)-(a+b+a^2b+b^2a)^2\\ &=4ab\left(x-\dfrac{a+b+a^2b+b^2a}{2\sqrt{ab}}\right)^2+(a+b)^2+(ab-1)^2+(a+b)^2(1+ab)^2 \end{align*} así que creo que esta idea no es buena, tal vez esto tiene buenos métodos, porque este reslut es agradable
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Qué tipo de números son $a$ y $b$ ?
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@Dr.SonnhardGraubner $0<a,b<1$ en la tercera línea de la pregunta...
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Es sólo una idea pero, denotando la integral por $I(a,b)$ entonces, si pudieras mostrar que $I(a,b)=I(1,ab)$ esto implicaría $I(a,b)=I(\sqrt{ab},\sqrt{ab})$ y entonces la raíz cuadrada desaparece.