Cálculo pregunta con círculo, cadena de

Question

La figura muestra un trozo de cuerda atada a un círculo con un radio de una unidad. La cadena es lo suficientemente largo para alcanzar el lado opuesto del círculo. Encontrar el área que está cubierta cuando la cuerda se desenrolla hacia la izquierda y continúa hacia la izquierda hasta que se alcanza el lado opuesto de nuevo.

Answer 1

Yo soy todo condensación de lo que Eric Weisstein escribió en este MathWorld artículo (citando 1998, así como el papel de Hoffman, "el Toro y El Silo: Una Aplicación de la Curvatura."). Se pueden resolver mediante la búsqueda en el área del semicírculo de la cadena de trazas (antes de que la cadena comienza a envolver) y, a continuación, hacer algún capricho de cálculo para hallar el área de las regiones se forman cuando la cuerda comienza a envolver alrededor del círculo.

Por los cálculos en el artículo, dado un círculo de radio $a$ y una cadena de longitud $L$, el área de $A$ $$A = \frac{\pi L^2}{2} + \frac{L^3}{3a}\;.$$

Así que, en su caso donde $a=1$ $L=\pi$ tenemos $A = \frac{5}{6}\pi^3 \;\approx\; 25.838564$.

Answer 2

Hay 3 partes para el cálculo. La cuerda se desenrolla hasta que apunte hacia arriba. Un semi-círculo. La cadena de vientos de vuelta en la rueda. Parte 1 y parte 3 traza de la misma área.

Parte 1: Deje $(\cos\theta,\sin\theta)$ ser el punto donde la cadena se empieza a alejarse de la rueda.

vamos a (x,y) el punto final de la cadena.

el área de trazado dentro de(x,y).

$-\int_0^{\pi} y(\theta) \frac {dx}{d\theta} d\theta$

Es negativo, porque x se mueve de derecha a izquierda.

Ahora necesitamos encontrar funciones de x y y en términos de theta.

La longitud de la cuerda en el extremo libre = $(\pi - \theta)$ y el segmento de la $(\cos\theta, \sin\theta) \to (x,y)$ es tangente a la curva.

$(x,y) = (\cos\theta + (\pi-\theta) \sin \theta,\sin\theta - (\pi-\theta) \cos \theta)$

$\frac {dx}{d\theta} = -\sin\theta + (\pi-\theta) \cos\theta - \sin\theta$

$\int_0^\pi (\sin\theta - (\pi-\theta) \cos \theta)(2\sin\theta - (pi-\theta)\cos\theta) d\theta$

parte 2: es un semi círculo de radio $\pi$

$\frac 12\pi^3$

parte 3 = parte 1

Por cierto, este cálculo se ha incluido el son del círculo unitario como estar dentro de la zona trazada por el punto final de la cadena.

Answer 3

Traté de representar gráficamente las ecuaciones dadas en la aceptó responder por Doug M, pero no parecen trazar la ruta de acceso de la final de la cadena que está siendo corregida (a pesar de que su método no da la respuesta correcta). La forma en que resuelvo el problema era copiar las ecuaciones (5) y (6) de la página http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html, el uso de $a=1$ y, a continuación, utilizar coordenadas polares. He traducido todo a la derecha una unidad de manera que el área de la parte 1 de el cálculo se parece a esto:

... (donde el punto naranja en el $y-$eje se encuentra en$(0,\pi)$), de modo que las ecuaciones necesarias son $$x=\cos\theta+\theta\sin\theta+1\quad\text{and}\quad y=\sin\theta-\theta\cos\theta.$$ Ahora el uso de $r^2=x^2+y^2$ eventualmente nos da $$r^2=\theta^2+2\theta\sin\theta+\cos\theta+2$$ and subtracting the area of the upper half of circle $r=2\cos\theta$, tenemos el área entre las curvas como $$A=\left[\frac12\int_0^\pi(\theta^2+2\theta\sin\theta+\cos\theta+2)\,d\theta\right]-2\pi=\boxed{\frac{\pi^3}6}.$$

Duplicar este valor y agregar el semicírculo de la "parte 2" descrito por Doug M da el resultado final de la $\boxed{\dfrac{5\pi^3}6}$.

Answer 4

Bueno, me engañó, y la resolvió numéricamente: viene en sobre 19.55.

Por desgracia, eso no coincide con Mike Pierce respuesta de $\frac56 \pi$...

Aquí hay un gráfico de la parte interesante, y aquí está el código de Matlab.