Encontrar el valor de $\frac{a^2}{a^4+a^2+1}$ si $\frac{a}{a^2+a+1}=\frac{1}{6}$

Question

Hay una manera fácil de resolver el problema? La manera en que lo hice es para encontrar el valor de $a$ a partir de la segunda expresión y, a continuación, utilizarlo para encontrar el valor de la primera expresión. Yo creo que no debe ser un simple y elegante enfoque para abordar el problema. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Encontrar el valor de $$\frac{a^2}{a^4+a^2+1}$$ if $$\frac{a}{a^2+a+1}=\frac{1}{6}$$

Answer 1

A partir de la primera ecuación (invertida),

$$\frac{a^2+a+1}a=6$$ or $$\frac{a^2+1}a=5.$$

A continuación, el cuadrado,

$$\frac{a^4+2a^2+1}{a^2}=25$$ o $$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=24.$$

Answer 2

Sugerencia. A partir de la ecuación, se obtiene $$ a^2=5a-1, \quad a^4=(5a-1)^2=25a^2-10a+1=115a-24 $$ dando en la primera expresión

$$ \frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{5a-1}{120a-24}=\frac{1 \times\color{red}{(5a-1)}}{24\times\color{red}{(5a-1)}}=\frac1{24}. $$

Answer 3

Se le pedirá para expresar $\dfrac1B=\dfrac1{a^2+1+a^{-2}}$ en términos de $\dfrac1A=\dfrac1{a+1+a^{-1}}$.

El cuadrado de "a ver",

$$A^2=(a+1+a^{-1})^2=a^2+1+a^{-2}+2a+2+2a^{-1}=B+2A.$$

Esto nos da

$$B=A^2-2A=6^2-2\cdot6=24.$$

Answer 4

La segunda manera es también un poco raro, puede dividir por $a$ $a^2$ y el aviso de que $(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$.

Así que usted tiene $$\frac{1}{t+1}=\frac{1}{6}$$ and $$\frac{1}{t^2-1}=?$$

Answer 5

Sugerencia

$$\frac{a^2}{a^4+a^2+1}=\frac{a}{ (a^2+a+1)}\frac{a}{(a^2-a+1)}=\frac{1}{(\frac{a^2+1}{a}+1)}\frac{1}{(\frac{a^2+1}{a}-1)}=\frac{1}{((\frac{a^2+1}{a})^2-1)}$$