Probar que si $|f''(x)| \le A$ $|f'(x)| \le A/2$

Question

Supongamos que $f(x)$ es diferenciable en a$[0,1]$$f(0) = f(1) = 0$. También es sabe que $|f''(x)| \le A$ por cada $x \in (0,1)$. Demostrar que $|f'(x)| \le A/2$ por cada $x \in [0,1]$.

Voy a explicar lo que hice hasta ahora. Primero usando el teorema de Rolle, existe algún punto de $c \in [0,1]$$f'(c) = 0$.

EDIT: Mi primera solución preliminar fue mal, así que he intentado algo más. EDIT2: Otra versión :\

I definir una serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto de $1$: $$ f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac12 f''(d_1)(x-1)^2 $$ $$ f(0) = f(1) + f'(1)(-1) + \frac12 f''(d_1)(-1)^2 $$ $$ |f'(1)| = \frac12 |f''(d_1)| <= \frac12 A $$

Ahora puedo desarrollar una serie de Taylor de primer orden para$f'(x)$$1$: $$ f'(x) = f'(1) + f''(d_2)(x-1) $$ $$ |f'(x)| = |f'(1)| + x*|f''(d_2)|-|f''(d_2)| \leq \frac{A}{2} + A - A = \frac{A}{2} $$

Nos parece correcto para mí, ¿ustedes qué piensan?

Nota: no puedo utilizar las integrales, porque no hemos cubierto todavía.

Answer 1

Si $f''$ existe en $[0,1]$$|f''(x)| \le A$, $f'$ es Lipschitz continua, lo que implica que $f'$ es absolutamente continua. Por lo $f'(a)-f'(b)=\int_{a}^{b}f''(t)\,dt$ cualquier $0 \le a, b \le 1$. Y, por supuesto, lo mismo es cierto de $f$ porque $f$ es continuamente diferenciable.

Debido a $f(0)=0$, se tiene la siguiente para $0 \le x \le 1$: $$ f(x) = \int_{0}^{x}f'(t)\,dt = tf'(t)|_{0}^{x}-\int_{0}^{x}tf"(t)\,dt=xf'(x)-\int_{0}^{x}tf"(t)\,dt. $$ Asimismo, dado que el $f(1)=0$, se tiene la siguiente para $0 \le x \le 1$: $$ f(x)=\int_{1}^{x}f'(t)\,dt = (t-1)f'(t)|_{1}^{x}-\int_{1}^{x}(t-1)f"(t)\,dt=(x-1)f'(x)-\int_{1}^{x}(t-1)f"(t)\,dt. $$ Restando la segunda ecuación de la primera da $$ 0=f'(x)-\int_{0}^{x}tf"(t)\,dt+\int_{1}^{x}(t-1)f"(t)\,dt. $$ Por lo tanto, $$ |f'(x)| \le\left(\int_{0}^{x}t\,dt + \int_{x}^{1}(1-t)\,dt\right)=\frac{A}{2} x^{2}+(1-x)^{2}). $$ La máxima de la expresión de la derecha se produce en$x=0$$x=1$, con un valor de $A/2$. Por lo tanto, $|f'(x)| \le A/2$.

Answer 2

Ya se lo he de dar una respuesta Integral a esta pregunta en otro post. Voy a duplicar la respuesta aquí. Si es en contra de la política por favor, dime lo que debo hacer.

Puedo gestionar una respuesta utilizando tanto tiempo una expansión de taylor centro en un punto de $x \in \left [0, 1 \right ]$. Puedo conseguir $$ f(h) = f(x)+f'(x)(h-x) + \frac{1}{2} f"(\xi) (h) (h-x)^2 $$

ahora, para h = 0 y h = 1, I se

$$0=f(x)-xf'(x)+\frac{1}{2}x^2f''(\xi(0))$$ y $$0=f(x)+f'(x)-xf'(x)+\frac{1}{2}(1-x)^2f''(\xi(1)).$$ Restando uno a otro para obtener $f(x)$ y un poco de manipulación de rendimiento: $$|f'(x)| = \frac{1}{2}|x^2f''(\xi(0))-(1-x)^2f''(\xi(1))|\leq\frac{1}{2}(|x^2f''(\xi(0))|+|(1-x)^2f''(\xi(1))|)\leq \frac{A}{2}(|x^2|+|1-x|^2) $$

desde $x \in \left [0, 1 \right ], (|x^2|+|1-x|^2) \leq1 $ y obtenemos el resultado.