Área de un círculo $\pi r^2$

Question

Por lo tanto, hoy aprendí que el área de un círculo es $\pi r^2$. Entonces, pensé que dado que $r$ es $1$ dimensional, $r^2$ será $2$ dimensional. En este caso, un cuadrado, ya que solo multiplicas $2$ dimensiones (sin manipulación adicional para cambiar la forma).

Pero entonces, ¿qué hace $\pi$ al cuadrado? ¿Cómo puede un cuadrado convertirse en un círculo con $\pi$?

Posibles respuestas que pensé son que el área del círculo es igual a $3.1415\ldots$ cuadrados (con longitud lateral $r$). Y que la fórmula $\pi r^2$ se deriva de una fórmula larga (me gustaría saber la fórmula larga si esto es cierto, ¿cómo obtienen los matemáticos el área del círculo antes de comparar en primer lugar?).

Pregunté a mi profesor sobre esto pero realmente no me entiende. Así que espero que los expertos en StackExchange entiendan mi problema.

Una imagen que dibujé, mostrando que $r^2$ es un cuadrado

Answer 1

Supongo que ya sabes que el perímetro del círculo es $2\pi$. Esto significa que una cuerda que cubre todo el perímetro del círculo será $2\pi$ (alrededor de 6.3) veces más grande que una cuerda que va desde el centro hasta el borde del círculo. Esta relación es constante y solo depende de la figura en sí misma siendo un círculo, pero no de su tamaño (la fórmula es válida para cualquier radio).

Ahora imagina que dibujas triángulos muy pequeños como los de esta figura

En cierto sentido, esto es como cortar porciones de pizza, pero las porciones de pizza están curvadas en el exterior. Sin embargo, si haces las porciones muy muy delgadas, entonces serán casi como triángulos, y al unirlos puedes aplicar la fórmula para el área de un paralelogramo, base por altura. Por lo tanto, $$ A = r \times \pi r = \pi r^2 $$

A partir de esta última imagen ya puedes ver que el área de un círculo de radio $r$ va a ser $\pi$ veces más grande que el área de un cuadrado de lado $r$, porque en el caso del círculo puedes "cortarlo" en porciones y transformarlo en un rectángulo, con un lado de tamaño $r$ (como en el cuadrado) pero con el otro lado $\pi$ veces más grande. Si quisieras hacer un cuadrado con la misma área, necesitarías "redistribuir" este exceso de área entre sus lados. Específicamente, sus lados deberían cumplir la siguiente expresión $$ s^2 = \pi r^2 $$ porque $s^2$ es exactamente el área del cuadrado (llamamos al lado del cuadrado "$s$"). Ahora, si dos cantidades son iguales, entonces también lo son sus raíces cuadradas, por lo tanto, tomando la raíz cuadrada de cada lado de la última expresión obtenemo $$ c = \sqrt{\pi} \times r $$ Esto significa que para obtener un cuadrado con la misma área que un círculo, su lado debe ser $\sqrt{\pi} \simeq 1.77$ veces el radio del círculo.

Answer 2

Es cierto que el término $r^2$ en cierto sentido crea el área. Lo que dice la fórmula $A = \pi r^2$ es que el área del círculo es mayor que el área del cuadrado con lado $r$ (como claramente puedes ver en tu dibujo).

Más precisamente, el área del círculo es igual al área del cuadrado con lado $\sqrt{\pi}\cdot r$ porque $(\sqrt{\pi}\cdot r)^2 = \pi r^2$. Entonces lo que puedes decir es que el $\pi$ escala correctamente la longitud de los lados.

Answer 3

Aquí tienes una forma divertida de pensarlo. Sabes que el radio $r$ de un círculo se extiende desde el centro del círculo hasta el borde del círculo. Esto da un área de $A=\pi r^2$.

También sabes que el área de un cuadrado es $A=s^2$ donde $s$ es la longitud del lado del cuadrado. Pero ¿qué pasaría si usamos una medida del cuadrado análoga al radio de un círculo? (Nuevamente, esto es solo para pensar de forma divertida...)

Para el cuadrado, vamos a permitir que esta nueva medida se extienda desde el centro del cuadrado hasta el centro de uno de los lados. Esto es análogo al radio de un círculo (lo que significa que es comparable en ciertos aspectos, si somos mentalmente flexibles). Incluso podríamos llamarlo $r$ si queremos.

Dado que la longitud de un lado $s$ de un cuadrado es igual a $2r$, podemos decir $s=2r$. Esto da como resultado el área del cuadrado como $A=s^2=(2r)^2=4r^2$.

Entonces, usando nuestra flexibilidad mental y medidas análogas de cada objeto, obtenemos el área del cuadrado como $A=4r^2$ y el área del círculo como $A=\pi r^2$.

Ahora imagina que tenemos un cuadrado y un círculo, cada uno con el mismo $r$. Vamos a dejar que $r=1$. Esto da como resultado el área del cuadrado como $A=4$ y el área del círculo como $A=\pi =3.14159265358979323...$

Esto muestra que, para la medida análoga $r$, el área del cuadrado es un poco más grande que la del círculo correspondiente. Esto tiene sentido si observas las dos figuras. El cuadrado tiene 4 esquinas puntiagudas que añaden este área extra.

Usando nuestras medidas flexibles y divertidas, hemos respaldado lo que crees: $r^2$ es una medida bidimensional de área. Para el círculo (debido a su forma especial) multiplicamos esa medida bidimensional por el "factor de conversión" de $\pi$ para obtener el área final. Este factor de conversión de $\pi$ es ligeramente menor que lo que tendríamos que multiplicar en un cuadrado ($4$) si usáramos una medida del cuadrado análoga al radio de un círculo.

Nuevamente, todo esto fue por diversión. La gente no usa $r$ para medir cuadrados, pero sería genial si lo hicieran. Hay mucho más diversión cuando exploras las maravillas de este "factor de conversión" circular $\pi$ y sus increíbles propiedades que se extienden muy más allá de los círculos. Eso será para otra ocasión...

Answer 4

En unidades físicas, $r$ es un número con una unidad de distancia asociada, digamos un metro ($m$). $r^2$ es un número con una unidad de área asociada, $m^2$. Pero $r^2$ no es un cuadrado, es el área de un cuadrado. Elevar al cuadrado es una operación aritmética, no geométrica. Mapea números a números, no formas a formas.

Answer 5

Si entiendo correctamente, estás preguntando cómo se multiplica $r\times r $ (el área de un cuadrado) por $\pi $ para obtener el área de un círculo? Piensa: $$\begin {align}A&=\pi\times r^2\\&\approx3.14...\times r^2\\&\approx3r^2+0.1r^2+0.04r^2+...\end {align} $$

En otras palabras, estás sumando cuadrados más y más pequeños. Estos cuadrados se pueden organizar para verse cada vez más como el círculo del que quieres obtener el área.

Nota que $\pi$ no tiene dimensiones y $r $ tiene unidades de, por ejemplo, cm, por lo que las unidades son correctas, a saber, cm cuadrados.

Hay cuestiones de convergencia que he pasado por alto un poco, pero creo que esto responde tu pregunta.

Espero que esto te ayude.