Cómo probar que $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_1x_2...x_n}\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

Question

Pregunta:

Demostrar que para todo número natural $n$ existe $n$ números naturales $ x_1 < x_2 < ... < x_n ,$ tal que $$ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_1x_2...x_n} \in \mathbb{N}\cup \{0\}. $$

Mi idea: Para $n=1$ que puede tomar cualquiera de los $x_1\geq 1$, ya que el $\dfrac {1}{x_1} - \dfrac {1}{x_1} = 0$.

Para $n=2$ podemos tomar $x_1=1$ y naturales $x_2>1$, ya que el $\dfrac {1}{1} + \dfrac {1}{x_2} - \dfrac {1}{1\cdot x_2} = 1$.

Para $n=3$, podemos tomar $x_1=2,\,x_2=3$$x_3=5$.

Pero para $n>3$, no puedo encontrar ningún ejemplo, Ahora que he leído esto de los enlaces,Pero no puedo entender

puede que alguien tiene un ejemplo muy sencillo?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

La secuencia que se muestra por Gerry Myerson, es decir,. $a_1=2$, $a_{k+1}=a_1\cdots a_k+1$ satisface $$ \frac1{a_1}+\dots+\frac1{a_n} = 1 - \frac1{a_1\cdots a_n}. $$ (Inducción funciona debido a $\frac1{a_1\cdots a_n} - \frac1{a_1\cdots a_{n+1}} = \frac{a_{n+1}-1}{a_1\cdots a_{n+1}}=\frac1{a_{n+1}}$.)

Basado en esta secuencia, por $n\ge3$ los números $$ (x_1,x_2,\ldots,x_n) = (a_1,\ldots,a_{n-1},a_n-2) $$ soluciona el problema: $$ \frac1{x_1}+\dots+\frac1{x_{n-1}}+\frac1{x_n} = \left(\frac1{a_1}+\dots+\frac1{a_{n-1}}\right)+\frac1{a_n-2} = \\ = \left(1-\frac1{a_1\cdots a_{n-1}}\right)+\frac1{a_1\cdots a_{n-1}-1} = 1+\frac1{a_1\cdots a_{n-1}(a_1\cdots a_{n-1}-1)} = \\ = 1+\frac1{a_1\cdots a_{n-1}\cdot (a_n-2)}. = 1+\frac1{x_1,\cdots x_{n-1}\cdot x_n}. $$