Evaluar $ \lim_ {n \to\infty }nI_n$ con $I_n= \int_0 ^1 \frac {x^n}{x^2+3x+2}dx$

Question

Tenemos que evaluar: $$ \lim_ {n \to\infty }nI_n$$ con $$I_n= \int_0 ^1 \frac {x^n}{x^2+3x+2}\:dx.$$

¿Hay una forma elegante de resolver este problema?

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Aquí están todos mis pasos:

• Mi primera idea era encontrar una relación de recurrencia tal que:

$$I_{n+2}+3I_{n+1}+2I_n= \frac {1}{n+1}, \forall x \in\mathbb {N}$$

• El siguiente paso es mostrar que $ \forall x \in [0,1] \Rightarrow I_{n} \ge I_{n+1} \ge I_{n+2}$

Por lo tanto, se trata de eso: $$6I_n \ge 4I_{n+1}+2I_n \ge\frac {1}{n+1}, \forall x \in\mathbb {N}$$

Como dije antes $$6I_{n+2} \leq 4I_{n+2}+2I_n \leq\frac {1}{n+1}$$ $ \Rightarrow \frac {n}{6(n+1)} \leq nI_n \leq\frac {n}{6(n-1)}, \forall x \in\mathbb {N}$

Por lo tanto, al apretarlo:

$$nI_n \to\frac {1}{6}\:as\:n \to\infty $$

Answer 1

Puede que sólo integremos por partes, $$ \begin{align} I_n=\int_0^1\frac{x^n}{(x+1)(x+2)}dx&=\left. \frac{x^{n+1}}{(n+1)}\frac{1}{(x+1)(x+2)}\right|_0^1+\frac{1}{(n+1)}\int_0^1\frac{(2x+3)\:x^{n+1}}{(x+1)^2(x+2)^2}\:dx\\\\ &=\frac1{6(n+1)}+\frac{1}{n+1}\int_0^1\frac{(2x+3)}{(x+1)^2(x+2)^2}\:x^{n+1}dx\\\\ &=\frac1{6(n+1)}+\frac{1}{n+1}J_n \tag1 \end{align} $$ y se puede observar que $$ 0\leq \int_0^1\frac{(2x+3)}{(x+1)^2(x+2)^2}\:x^{n+1}dx\leq \frac{(2\times1+3)}{(0+1)^2(0+2)^2}\int_0^1x^{n+1}dx $$ o $$ 0\leq J_n\leq \frac{5}{4}\frac{1}{(n+2)}. \tag2 $$ A continuación, utilizando $(1)$ y $(2)$ da fácilmente

$$ \lim_{n \to +\infty}nI_n=\frac16.$$

Answer 2

Sustituir $x\mapsto x^{1/(n+1)}$ y utilizar Convergencia dominada : $$ \begin{align} n\int_0^1\frac{x^n}{x^2+3x+2}\,\mathrm{d}x &=\frac{n}{n+1}\int_0^1\frac1{x^2+3x+2}\,\mathrm{d}x^{n+1}\\ &=\frac{n}{n+1}\int_0^1\frac1{x^{2/(n+1)}+3x^{1/(n+1)}+2}\,\mathrm{d}x\\ &\to1\int_0^1\frac1{1+3\cdot1+2}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac16 \end{align} $$

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Un enfoque más básico $$ \begin{align} \frac16-\left(n\int_0^1\frac{x^n}{x^2+3x+2}\,\mathrm{d}x\right) &=\int_0^1\left(\frac16-\frac{x^{1/n}}{x^{2/n}+3x^{1/n}+2}\right)\,\mathrm{d}x\tag1\\ &=\frac16\int_0^1\left(\frac{x^{2/n}-3x^{1/n}+2}{x^{2/n}+3x^{1/n}+2}\right)\,\mathrm{d}x\tag2\\ &\le\frac1{12}\int_0^1\left(x^{2/n}-3x^{1/n}+2\right)\,\mathrm{d}x\tag3\\[3pt] &=\frac1{12}\left(\frac{n}{n+2}-3\frac{n}{n+1}+2\right)\tag4\\[6pt] &=\frac{7n-2}{12(n+1)(n+2)}\tag5 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ : sustituto $x\mapsto x^{1/n}$ entonces traiga el $\frac16$ dentro de la integral
$(2)$ : álgebra; $x^{2/n}-3x^{1/n}+2=\left(x^{1/n}-1\right)\left(x^{1/n}-2\right)\ge0$ en $[0,1]$
$(3)$ como el integrando es positivo, acótalo sustituyendo el denominador por su mínimo
$(4)$ : integrar
$(5)$ : simplificar

Por lo tanto, $$ \frac16-\frac{7n-2}{12(n+1)(n+2)}\le\left(n\int_0^1\frac{x^n}{x^2+3x+2}\,\mathrm{d}x\right)\le\frac16\tag6 $$ Aplique el Teorema del Apretón para obtener $$ \lim_{n\to\infty}n\int_0^1\frac{x^n}{x^2+3x+2}\,\mathrm{d}x=\frac16\tag7 $$