Dejemos que $A$ sea un anillo y $M$ a $A$ -tal que $M$ es generado por algún sistema de $n$ pero contiene algún otro sistema de $n+1$ elementos linealmente independientes. Quiero demostrar que $M$ debe contener un sistema infinito de elementos linealmente independientes. De hecho, he podido demostrarlo bajo la suposición adicional de que no hay ningún divisor cero de $A$ . De hecho, es fácil demostrar por inducción que hay dos ideales en A, $I$ y $J$ , ambos no ceros y tales que su intersección es trivial y entonces podemos construir el sistema infinito por otra inducción. Pero sin esta suposición estoy atascado. ¿Podríais ayudarme?
(Editar. He puesto la parte editada en letra inclinada)
Aquí está mi prueba en caso de que no haya un divisor cero. Primero, $A$ contiene dos ideales no nulos $I$ y $J$ tal que $I \cap J=\{0\}$ . De hecho, vamos a argumentar por contradicción; dejemos $n$ sea mínima, tal que $A^n$ contiene alguna familia independiente de $n+1$ elementos (es fácil elevar la hipótesis a $A^n$ ). Si $n=1$ entonces la afirmación es obvia (sólo hay que elegir $Ax$ y $Ay$ donde $x,y$ son independientes). En caso contrario, dejemos que $(x_1,\cdots,x_{n+1})$ sea una familia independiente de $A^n$ . Proyectemos $A^n$ en $A^{n-1}=A^{n-1} \times \{0\}$ . Nos da una familia $(y_1,\ldots,y_{n+1})$ . Desde $n$ es mínimo, sabemos que $(y_1,\ldots,y_n)$ no es independiente. Por lo tanto, podemos encontrar algunos no triviales $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tal que $$ \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i = (0,\ldots,0,\lambda) $$ donde $\lambda \in A$ (pero $\lambda \neq 0$ ). Podemos suponer, por ejemplo, que $\lambda_1 \neq 0$ . Entonces, por la misma razón, hay alguna secuencia no trivial $\mu_2,\ldots,\mu_{n+1}$ y algunos $\mu \neq 0$ tal que $$ \sum_{i=2}^{n+1} \mu_i x_i = (0,\ldots,0,\mu) $$ Suponemos que dos ideales nonzeros cualesquiera de $A$ se cruzan de forma no trivial. En consecuencia, debe existir $\alpha,\beta$ tal que $\alpha \lambda = \beta \mu \neq 0$ . Entonces podemos demostrar que $(x_1,\ldots,x_{n+1})$ no es independiente, una contradicción.
Así que dejemos $I,J$ sean ideales no nulos de $A$ tal que $I \cap J=\{0\}$ . Podemos construir la familia independiente infinita por inducción. Sólo tenemos que poner $x_{n+1}'=\alpha x_{n+1}$ y $x_{n+2}'=\beta x_{n+1}$ ( $\alpha \in I,\beta \in J$ y $\alpha,\beta \neq 0$ ). Entonces la familia $(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}',x_{n+2}')$ es independiente si la familia $(x_1,\ldots,x_{n+1})$ es independiente (porque $\lambda \alpha + \mu \beta=0$ sólo puede ocurrir si $\lambda=\mu=0$ ).
