Esto se conoce como la del Teorema de König (también hay un lema llama el hijo de éste). Vamos a asumir el axioma de elección a través de esta respuesta, de lo contrario no se puede demostrar este teorema (más sobre esto en la parte inferior).
Michael Greinecker dio un breve argumento por el hecho de que no hay surjective función de la unión para el producto. Que bajo el axioma de elección es suficiente para concluir que hay una surjection en la otra dirección, y una inyección de la unión para el producto, como quería. Aquí está una más explícita la construcción de inyección:
Si alguna de las $A_i$ está vacía dejarnos caer de la lista, y retirar el correspondiente $B_i$. Espero que sea claro, ¿por qué esto no va a perjudicar el resultado. También podemos suponer que el $A_i$'s son pares de conjuntos disjuntos.
El hecho de que $|A_i|<|B_i|$ significa que hay una inyección de $f_i\colon A_i\to B_i$. Y no hay inyección en la otra dirección, más por Cantor-Bernstein nos hubiera igualdad en lugar de una fuerte desigualdad. Por simplicidad, también podemos suponer que $A_i\subsetneqq B_i$ todos los $i\in I$.
Fix $\langle b_i\mid i\in I\rangle$ alguna secuencia en el producto. Vamos a definir una inyección de ahora. Deje $a\in A_j$ si $a\neq b_j$, a continuación, enviar a $a$ a la secuencia de $\langle \overline b_i\mid i\in I\rangle$ tal que $\overline b_i=b_i$ $i\neq j$ $a$ lo contrario.
Si $a=b_j$, sabemos que $B_i$ tiene al menos dos elementos para cada $i\in I$, entonces podemos arreglar $\langle c_i\mid i\in I\rangle$ en el producto, de tal manera que $c_i\neq b_i$ por cada $i\in I$. Así, en el caso de $a=b_j$ enviamos $a$ a la secuencia de $\langle \overline c_i\mid i\in I\rangle$ tal que $\overline c_i=c_i$$i\neq j$, e $a$ lo contrario.
No es difícil ver que esto es una función inyectiva. Por lo tanto, la unión tiene cardinalidad menor o igual a la del producto.
Una palabra sobre el axioma de elección. Es coherente que, sin el axioma de elección, existe una contables conjunto de distintos pares que no tiene la función de elección. Es decir, $\{P_n\mid n\in\omega\}$ tal que $\prod P_n=\varnothing$. Es fácil ver que, incluso si tomamos $A_n=\{0\}$ todos los $n$,$|A_n|=1<2=|P_n|$, e $$\left|\bigcup A_n\right| = |\{0\}| = 1 > 0 = |\varnothing| =\left|\prod P_n\right|$$
Voy a remarcar, sin embargo, que si asumimos que el $A_i$ $B_i$ son todos los conjuntos de números ordinales, a continuación, el lema mantiene con independencia del axioma de elección.
