¿Si $\mathbb{E}[X] = k$ y $\text{Var}[X] = 0$, es $\Pr\left(X = k\right) = 1$?

Question

Esto no es tarea.

Sea $X$ una variable aleatoria. Si $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ y $\text{Var}[X] = 0$, ¿se deduce que $\Pr\left(X = k\right) = 1$?

Intuitivamente, esto parece obvio, pero no estoy seguro de cómo probarlo. Sé que a partir de las suposiciones, se sigue que $\mathbb{E}[X^2] = k^2$. Así que $$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ Esto no parece llevarme a ninguna parte. Podría intentar $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ Ahora, dado que $\left(X - k\right)^2 \geq 0$, se sigue que $\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ también.

Pero si usara la igualdad, $$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ entonces mi instinto es que $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$, por lo que $X \equiv k$.

¿Cómo sabría esto? Supongo que una prueba por contradicción.

Si, por el contrario, $X \neq k$ para todo $X$, entonces $(X-k)^2 > 0$, y $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ para todo $X$. Tenemos una contradicción, así que $X \equiv k$.

¿Es válida mi prueba; y si es así, quizás hay una mejor manera de demostrar esta afirmación?

Answer 1

Aquí hay una prueba de teoría de la medida para complementar a las demás, usando solo definiciones. Trabajamos en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, P)$. Observa que $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ y considera la integral $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$. Supongamos que para algún $\epsilon>0$, existe $A\in \mathcal F$ tal que $Y>\epsilon$ en $A$ y $P(A)>0$. Entonces $\epsilon I_A$ aproxima a $Y$ desde abajo, así que por la definición estándar de $\mathbb E Y$ como el supremo de integrales de funciones simples que aproximan desde abajo, $$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $\forall \epsilon>0$, $P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$. Listo.

Answer 2

Demuéstralo por contradicción. Por la definición de la varianza y tus suposiciones, tienes

$$ 0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx, $$

donde $f$ es la densidad de probabilidad de $X$. Nota que tanto $(x-k)^2$ como $f(x)$ son no negativos.

Ahora, si $P(X=k)<1$, entonces

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big) $$

tiene medida mayor a cero, y $k\notin U. Pero entonces

$$ \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(algumento estilo $\epsilon$ podría ser incluido aquí) y por lo tanto

$$ 0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0, $$

y tu contradicción.

Answer 3

¿Qué es $X \equiv k$? ¿Es lo mismo que $X = k$ casi seguro?

ETA: Si mal no recuerdo, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

De todos modos, es obvio que

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Supongamos

$$E[(X-E[X])^2] = 0$$

Entonces

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{c.s.}$$

El último paso, creo, implica continuidad de la probabilidad...o lo que hiciste (Tienes razón).

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También está la Desigualdad de Chebyshev:

Para todo $\epsilon > 0$,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Buen punto de conversación otra vez.

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Por cierto, ¿por qué es que

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

A mí me parece que $LHS = k$ mientras que $RHS = k^2$