Sobre la continuidad de

Question

una pregunta es inquietante me :

sean f y g dos continuo (valor real) de las funciones de la unidad de intervalo [0,1] con la propiedad de que

$[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]=0 ,\forall x,y \in [0,1]$.

En mi opinión, una de las dos funciones, $f$ o $g$, debe ser una función constante.

Estoy en lo cierto ? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo ?

O tal vez, eso es totalmente tonto y te agradecería un contra-ejemplo.

Muchas Gracias,

Alan

Answer 1

Sin perder generalidad, $f(0)=g(0)=0$. La idea es tomar el $f$ que no es idéntica a cero y, a continuación, probar que $g$ debe ser idéntica a cero. Podemos escribir

$$\forall y\quad f(y) g(y) =0.$$

Tome $A=\{y:\,f(y)\ne 0\}\subset(0,1]$.

Si $A=\emptyset$, entonces hemos terminado, así que vamos a suponer que la $A\ne \emptyset$.

Obviamente, $\forall y\in A$ tenemos $g(y)=0$.

Si $A=(0,1]$, $g(z)$ es igual a cero para $z=0$$z\in A$, es decir, $g$ es idéntica a cero en $[0,1]$.

Tome $z\in (0,1]\setminus A$ tal que $g(z)\ne 0$ - si no hay tal $z$, entonces hemos terminado, porque $g$ $0$ tanto $A$$[0,1]\setminus A$.

Tome $y\in A$, luego $$(f(z)-f(y))(g(z)-g(y))=0$$ por hipótesis, sin embargo, se simplifica a $$ f(y) g(z) =0,$$ lo que implica que $g(z)=0$ (es decir, la contradicción).

Así que, de hecho, su hipótesis sostiene: una de las funciones debe ser constante.