¿Por qué la energía potencial gravitatoria es negativa y qué significa?

Question

Suelo pensar que la energía potencial gravitatoria representa justo lo que parece: la energía que podríamos ganar potencialmente, utilizando la gravedad. Sin embargo, la ecuación de la misma (derivada de la integración de la ley de la fuerza gravitatoria de Newton)...

$$PE_1 = -\frac{GMm}{r}$$

me tiene desconcertado, especialmente después de esta respuesta .

• Si la energía potencial significara realmente lo que yo pensaba, entonces tendría que ser siempre no negativa... pero esta ecuación es siempre negativo. Entonces, ¿qué significa "energía potencial negativa"?
• Si $KE + PE$ es siempre una constante, pero PE no sólo es negativo sino que se convierte en más negativo a medida que las partículas se atraen, ¿no significa que la energía cinética se hará arbitrariamente grande? ¿No debería significar esto que todas las partículas aumentan a una KE infinita antes de una colisión?
• Si estamos cerca de la superficie de la tierra, podemos estimar el PE como $$PE_2 = mgh$$ tratando a la Tierra como un plano gravitatorio. Sin embargo, $h$ en esta ecuación juega exactamente el mismo papel que $r$ en la primera ecuación, ¿no es así?
  • Entonces, ¿por qué $PE_1$ negativo mientras $PE_2$ es positivo? ¿Por qué uno aumenta con $h$ mientras que el otro aumenta inversamente con $r$ ?
  • ¿Representan ambos la misma "forma" de energía? Puesto que $PE_2$ es sólo una aproximación de $PE_1$ Si nos encontráramos cerca de la superficie de la Tierra y conociéramos la distancia a su centro de masa, obtendríamos casi la misma respuesta utilizando cualquiera de las dos ecuaciones. Sin embargo, las dos ecuaciones dan completamente ¡respuestas diferentes! ¿¡Qué pasa!?

¿Puede alguien ayudarme a aclarar mi confusión?

Answer 1

En cuanto a las energías negativas: no plantean ningún problema:

En este contexto, sólo tienen importancia las diferencias energéticas. La energía negativa aparece porque cuando has hecho la integración, has fijado un punto en el que has puesto la energía a 0. En este caso, has elegido que $PE_1 = 0$ para $r = \infty$ . Si has puesto $PE_1 = 1000$ en $r = \infty$ La energía fue positiva para algunos r.

Sin embargo, el signo menos es importante, ya que te está diciendo que la partícula de prueba está perdiendo energía potencial cuando trasladándose a $r = 0$ Esto es cierto porque se está acelerando, provocando un aumento de $KE$ :

calculemos el $\Delta PE_1$ para una partícula que se mueve en dirección a $r = 0$ : $r_i = 10$ y $r_f = 1$ :

$\Delta PE_1 = PE_f - PE_i = Gm(-1 - (-0.1)) = -Gm\times0.9 < 0$

como se esperaba: perdemos $PE$ y ganar $KE$ .

Segundo punto: sí, tienes razón. Sin embargo, sólo es cierto SI son partículas puntuales: tiene normalmente un radio definido, chocan cuando $r = r_1 + r_2$ provocando una colisión elástica o inelástica.

Tercer punto: tienes razón con $PE_2 = mgh$ Sin embargo, de nuevo, está eligiendo un referencial determinado: está asumiendo $PE_2 = 0$ para $y = 0$ , lo que, en la notación anterior, significa que estabas poniendo $PE_1 = 0$ para $ r = r_{earth}$ .

La diferencia más importante ahora es que usted dice que un aumento de h es alejarse más en r (si está más alto, está más lejos del centro de la Tierra).

Haciendo la analogía con el problema anterior, imagina que quieres obtener el $\Delta PE_2$ . En este caso, se comienza en $h_i = 10$ y quieres moverte a $h_f = 1$ (moviéndose en dirección al centro de la Tierra, como $\Delta PE_1$ :

$\Delta PE_2 = PE_{f} - PE_{i} = 1mg - 10mg = -9mg < 0$ .

Como era de esperar, porque estamos cayendo, estamos perdiendo $PE$ y ganar $KE$ El mismo resultado tiene $PE_1$

Cuarto punto: ambos representan lo mismo. La diferencia es que $gh$ es el primer término del Serie Taylor de la expansión de $PE_1$ cerca de $r = r_{Earth}$ . Como ejercicio, intente ampliar $PE_1(r)$ en una serie de taylor, y demostrar que el término lineal es:

$PE_1 = a + \frac{Gm(r-r_{earth})}{r_{earth}^2}$ .

Calculan numéricamente $Gm/r_{earth}^2$ (recuerda que $m=m_{earth}$ ). Si aún no lo has hecho, supongo que te sorprenderá.

Así que, por lo que he entendido, tu lógica es totalmente correcta, aparte de dos puntos clave:

• La energía se define aparte de un valor constante.

• en el $PE_1$ r significa disminución $1/r$ , lo que significa aumentar $PE_2 = -Gm/r$ . En $PE_2$ , aumentar h significa aumentar $PE_2=mgh$ .

Answer 2

Primero (1) resumiré las diferencias entre las definiciones de PE1 y PE2 y luego (2) equipararé ambas.

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(1) En primer lugar, como esta respuesta a "¿Por qué la energía gravitacional es negativa?" dice PE1 define la energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio de una masa M como la energía (trabajo) necesaria para llevarlo desde su posición actual $r$ hasta el infinito. PE1 asume $r=\infty$ es $PE=0$ $$PE1=\frac{GMm}{r}$$

La PE2, por su parte, se define como el negativo del trabajo realizado por la gravedad para elevar un cuerpo de masa m desde la superficie de un planeta hasta una altura h sobre el planeta.

$$PE2=-W=-Fdcos\theta =mgh$$

PE2 tiene un marco de referencia diferente al de PE1 , ya que supone $PE=0$ en $r=R$ o en la superficie del planeta. Además, y muy importante, el PE2 sólo se utiliza cuando un el objeto está cerca de la superficie de un planeta cuando $h<<<R$ (R es el radio del planeta), y g se puede suponer que es constante:

$$g=\frac{GM}{(R+h)^2} \approx \frac {GM}{R^2}$$

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(2) Bien, ahora vamos a equiparar las dos cosas. Aunque los marcos de referencia de PE1 y PE2 son diferentes, $|\Delta PE|$ entre dos puntos debería ser seguramente la misma. Por ejemplo, digamos que los dos puntos son la superficie del planeta y la altura h sobre el planeta.

PE1 dice $|\Delta PE|=mgh-mg(0)=mgh$

PE2 dice $|\Delta PE|=\frac {-GMm}{R+h}- \frac {-GMm}{R}=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)=GMm\left(\frac{h+R-R}{(R)(h+R)}\right)=\frac{GMmh}{(R)(R+h)}$

y porque $h<<<R$ , $\frac{GMmh}{(R)(R+h)} \approx \frac{GMmh}{R^2} =mgh$

Y así, tanto PE1 como PE2 representan la misma forma de energía, pero debemos tener en cuenta los marcos de referencia y las condiciones de uso cuando los utilizamos.

¡Espero que esto ayude! Paz.

Answer 3

Esto se debe a que la fuerza gravitacional es atractiva y el trabajo lo realiza la propia fuerza gravitacional. Cuando el sistema realiza trabajo por sí mismo, la energía se considera negativa y cuando el trabajo es realizado por una agencia externa en el sistema, la energía se considera positiva.

Answer 4

La gravedad es una aceleración. No tiene nada de negativo.

Sin embargo, cuando utilizas la aceleración para encontrar una velocidad, como la velocidad es una cantidad vectorial, debes describir una dirección. Es una convención que cualquier cosa que acelere arriba se describe como un positivo(+) como "La pelota acelera a 20m/s^2", mientras que la gravedad que describe un hacia abajo La aceleración se describe como (-) "-9,8m/s^2".

Esto se aplica también a cualquier cosa que acelere en el eje X. "El coche acelera a 10m/s^s cuando se aplica el gas" o "El coche acelera a -4m/s^2 cuando se aplica el freno".

Creo que esto se hace para facilitar las cosas a la hora de hacer gráficos.

Sin embargo, si se dijera simplemente "Tengo una pelota. Se desplazará, ¿a qué distancia se desplazará? (Fíjate en que no está "desplazada norte o a la izquierda ')" En una situación así, se utilizaría la aceleración de la gravedad sin el negativo. "Se desplazará 9,8 m cada segundo^2".

Espero que esto ayude. Por otra parte, podría tener completamente interpretó mal su pregunta. En cualquier caso, ¡que tenga un buen día!

Answer 5

Creo que es sólo una preferencia.

Podríamos considerar que la energía potencial gravitatoria es positiva y representa la energía "invertida" en nuestra posición respecto a un objeto masivo. Podemos "recuperar" esa energía (aumentar la energía cinética) acercándonos al objeto, momento en el que habremos disminuido la cantidad de energía que podríamos ganar moviéndonos más lejos. Por tanto, la energía potencial disminuye a medida que nos acercamos (acercándose a la energía cero a distancia cero), aumenta a medida que nos alejamos, y la suma de PE y KE es constante.

Pero, ¿qué valor tiene la constante? Cuando estamos muy muy lejos del objeto masivo deberíamos tener una energía potencial muy muy grande. Pero incluso cuando estamos muy cerca del objeto masivo, estamos muy lejos de todos los demás objetos masivos del universo, y por tanto deberíamos tener energías potenciales gravitatorias muy grandes en relación con todos esos objetos. Podemos calcular aproximadamente un valor de KE + PE considerando sólo los objetos más relevantes (los más cercanos y/o los más grandes), pero nuestro valor aproximado no hace más que crecer y crecer y crecer a medida que intentamos obtener aproximaciones más precisas incluyendo objetos más pequeños y más lejanos en nuestra categoría de objetos "relevantes". Así que nuestra constante KE + PE es un valor imposible de calcular o estimar como un valor específico. En cierto modo, no materia que nunca podemos reclamar un valor, ya que diferencias de energías son todo lo que realmente necesitamos para trabajar, y todavía podemos calcularlas (asumiendo que nuestro PE relativo a todo lo demás en el universo sólo ha cambiado de forma insignificante cuando nos movemos cerca del objeto masivo que estamos considerando). Pero parece poco satisfactorio.

Por otro lado, en lugar de considerar el PE como una cantidad positiva de energía "invertida" en nuestra posición (energía que ya hemos "gastado" si nos alejáramos del objeto masivo, y que podríamos ganar acercándonos), podemos considerarlo como una cantidad negativa de energía que "debemos" debido a nuestra posición (energía que hemos ganado "gratis" si nos acercamos al objeto desde el infinito, y que tendríamos que "gastar" para escapar de nuevo al infinito).

Todos los cálculos de energía diferencias de todos modos, el resultado es el mismo. Pero ahora nuestro PE relativo a un objeto va a cero a medida que nos alejamos mucho, mucho, del objeto. Esto significa que a medida que podemos calcular una aproximación de nuestra constante KE + PE considerando sólo los objetos más relevantes, y a medida que intentamos obtener mejores aproximaciones incluyendo objetos más pequeños y más lejanos en nuestro cálculo, los efectos de esos objetos adicionales se acercan cada vez más a cero. Así que llegamos a un número real que podemos decir justificadamente que es el valor de nuestra constante KE + PE.