Cómo demostrar que un conjunto de puntos discontinuos de una función creciente es a lo sumo contable

Question

Me gustaría probar lo siguiente:

Dejemos que $g$ sea una función monótona creciente sobre $[0,1]$ . Entonces el conjunto de puntos donde $g$ no es continua es a lo sumo contable.

Mi intento:

Dejemos que $g(x^-)~,g(x^+)$ denotan los límites izquierdo y derecho de $g$ respectivamente. Sea $A$ sea el conjunto de puntos donde $g$ no es continua. Entonces, para cualquier $x\in A$ hay un racional, digamos, $f(x)$ tal que $g(x^-)\lt f(x)\lt g(x^+)$ . Para $x_1\lt x_2$ tenemos que $g(x_1^+)\leq g(x_2^-)$ . Así, $f(x_1)\neq f(x_2)$ si $x_1\neq x_2$ . Esto muestra una inyección entre $A$ y un subconjunto de los racionales. Como los racionales son contables, $A$ es contable, siendo un subconjunto de un conjunto contable.

¿Está bien mi trabajo? ¿Hay formas mejores o más limpias de abordarlo?

Answer 1

Esto me parece precioso: o, más bien, parece exactamente lo que yo escribiría.

Si se puede pedir algo más a este argumento, quizá sea una justificación de que las funciones monótonas tienen discontinuidades como las que has descrito. Resulta que hace poco escribí esto en unos apuntes de clase para un curso de "cálculo de Spivak": véase $\S 3$ aquí . Aunque el hecho es bastante conocido, muchos textos no lo tratan explícitamente. Creo que esto puede ser un error: en la misma sección de mis notas, explico cómo se puede utilizar para dar una demostración rápida del Teorema de la Función Inversa Continua.

Answer 2

Sólo para variar un poco, otra prueba.

Supongamos que $f:[a,b]\to \mathbb R$ es monotónicamente creciente y dejemos que $D$ sea su conjunto de discontinuidades. Para cada $x\in D$ dejar $c_x=\lim_{t\to x+}f(t)-\lim_{t\to x-}f(t)$ (ya que $f$ es monótona los límites unilaterales existen (y son finitos)). Como $x$ era un punto de discontinuidad se deduce que $c_x>0$ . Ahora, dejemos que $S$ sea la suma de todos los $c_x$ . Más formalmente, consideremos el conjunto $T$ de todas las sumas finitas de elementos de la forma $c_x$ y que $S$ sea su supremacía.

Ahora, para cada suma finita $s=c_{x_1}+ \cdots +c_{x_n}$ (podemos suponer que los puntos $x_i$ aparecen en su orden natural en $[a,b]$ ) utilizando la monotonicidad de $f$ se deduce que la variación total de $f$ Es decir $f(b)-f(a)$ no es inferior a la suma $s$ (intuitivamente, porque esa suma es la suma de las variaciones totales en los puntos del camino desde $a$ a $b$ ). En símbolos: $s\le f(b)-f(a)$ . De ello se deduce que el supremum también satisface $S\le f(b)-f(a)$ . Pero una suma de infinitos elementos positivos sólo puede estar acotada si hay un número contable de elementos. Por lo tanto, $D$ es contable.

Answer 3

Te sugiero que utilices el axioma de elección para encontrar un único $f(x)$ para cualquier $x\in A$ . En efecto, se puede definir $Q(x)=\{F_x\in \mathbb{Q}: g(x^-)<F_x<g(x^+)\}$ para todos $x\in A$ . Pues fíjate que: 1) $Q(x)\neq \emptyset~\forall x\in A$ , 2) $Q(x)\cap Q(y)=\emptyset~\forall x\neq y$ en $A$ . 1) implica, por el axioma de elección que existe una función $f:A\to \cup_{x\in A}Q(x)\subset \mathbb{Q}$ tal que $f(x)\in Q(x)$ para todos $x\in A$ y 2) implica que esta función es una inyección.

Answer 4

Para $n \geq 2$ dejar $$A_n := \{x \in [0+1/n,1-1/n] : \lim_{h \to 0} g(x+h)-g(x-h) \geq 1/n \}.$$ $A_n$ es finito, ya que en caso contrario $g$ sería infinito en $x=1-1/n$ . También tenemos que el conjunto, $A$ de todas las dicontinuidades es la unión de todas $A_n$ . Por último, utilice el hecho de que la unión contable de conjuntos finitos es a su vez contable.