coordinar libre de la prueba de que $\text{div}(\nabla f \times \nabla g) = 0$

Question

Deje $V$ ser un Euclidiana $3$espacio tridimensional. ¿Existe una coordenada libre de la prueba de que para cualquiera de los dos $C^1$funciones $f, g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ tenemos $$\text{div}(\nabla f \times \nabla g) = 0?$$

Answer 1

Voy a usar la $\nabla \cdot F$ en lugar de $\text{div}(F)$.

$\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B)$ es un conocido cálculo vectorial identidad para $A, B$ campos vectoriales.

Si $A = \nabla f$ $B = \nabla g$ $\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) - \nabla f \cdot (\nabla \times \nabla g)$

También es bien conocido que el $\nabla \times \nabla f = 0$ (también conocida como curva de gradiente de la función es $0$) para cualquier $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$. Así que, a continuación,

$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \times 0 - \nabla f \times 0 = 0$.

Answer 2

Este es esencialmente el mismo que el de otras soluciones aquí (esp. Kevin Dong), pero se aprovecha la eficiencia de resumen índice de notación, y lo hace muy claro qué características esenciales que necesitamos para esta identidad para celebrar.

Dada una métrica $h_{ab}$ $3$- colector con forma de volumen $\epsilon_{abc}$, podemos escribir la cruz de productos como $$(X \times Y)^a := h^{ad} \epsilon_{bcd} X^b Y^c.$$ Ahora, $(\nabla f)^b = h^{bc} f_{, e},$ y el producto cruzado de dos gradientes toma una particular forma simple: $$(\nabla f \times \nabla g)^a := h^{ad} \epsilon_{bcd} h^{be} f_{, e} h^{ci} g_{, i} = \epsilon^{eia} f_{, e} g_{, i}. \qquad (\ast)$$ En particular, observe que esta expresión no depende de la métrica directamente, sólo la forma de volumen $\epsilon$ y la derivada covariante $\nabla$.

Tomando la divergencia de esta cantidad, lo cual coincide con $\text{tr} \circ \nabla$, da $$\text{div} (\nabla f \times \nabla g) = (\nabla f \times \nabla g)^a{}_{, a} = (\epsilon^{eia} f_{, e} g_{, i})_{, a} = \epsilon^{eia}{}_{, a} f_{,e} g_{,i} + \epsilon^{eia} f_{,e a} g_{,i} + \epsilon^{eia} f_{,e} g_{,i a}.$$ Ahora, la forma de volumen $\epsilon^{eia}$ es paralela, por lo que el primer término de la derecha se desvanece. Siguiente, $f_{, ea}$ es un Hessiana de una función, y así es simétrica en el $e$ $a$ índices; pero estos índices son contratados con la $e$ $a$ los índices de la totalmente sesgado forma de volumen $\epsilon^{eia}$, por lo que este término es cero; de la misma manera, así que es el último término, lo que da $$\text{div} (\nabla f \times \nabla g) = 0$$ como se desee.

Tenga en cuenta que si nos tomamos el lado derecho de la $(\ast)$ a ser la definición de $\nabla f \times \nabla g$, entonces todo lo que necesitamos para esta identidad es una forma de volumen $\epsilon_{abc}$ y una torsión de conexión sin que la conserva, que es, para que es paralelo. (Torsión-libertad aquí es necesario que el estado de Hesse a ser simétrica.)

Answer 3

Sí, no hay. Por definición de $\text{div}$, es suficiente para mostrar que $d(\lrcorner\nabla f \times \nabla g) = 0$. Queremos usar el hecho de que el producto cruzado $v \times w$ de dos vectores puede ser definido por la fórmula $$v \times w = \mathcal{D}^{-1} \star (\mathcal{D}(v) \wedge \mathcal{D}(w)),$$ where $\estrella de$ denotes the Hodge star operator. With this in mind, since we know that $\mathcal{D}(\nabla f) = df$ and similarly $\mathcal{D}(\nabla g) = dg$, this is the same as$$d\lrcorner\mathcal{D}^{-1} \star (df \wedge dg) = d \star \mathcal{D}\mathcal{D}^{-1} \star (df \wedge dg) = d(df \wedge dg) = d^2(f\,dg) = 0.$$In the above, we have used that $\lrcorner = \estrellas\mathcal{D}$, $\estrella^2 = \text{Id}$, and $d^2 = 0$.

Answer 4

Suponiendo que las funciones involucradas son de $C^2) como Robert Lewis señaló, tenemos

$$\begin{aligned} \operatorname{div}(\nabla f \times \nabla g) & = \nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) \\ & = \nabla \cdot ( (\nabla f)_c \times \nabla g) + \nabla \cdot (\nabla f \times (\nabla g)_c) \\ & = - (\nabla f)_c \cdot (\nabla \times \nabla g) + (\nabla g)_c \cdot (\nabla \times \nabla f) \\ & = - \nabla f \cdot (\nabla \times \nabla g) + \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) \\ & = 0, \end{aligned}$$

desde $\nabla \times \nabla$ es cero. El subíndice $c$ denota una cantidad fija al aplicar la operación. Esto significa que en el producto $\nabla \cdot ((\nabla f)_c \times \nabla g)$ tratamos $ (\nabla f)_c$ como una constante en el vector y el resultado es $\nabla \times \nabla g$.

Answer 5

No es una prueba, asumiendo que al menos que $f$ $g$ $C^2$: $$\text{div}(\nabla f \times \nabla g) = \text{div}(\text{curl}(f\nabla g) - f\text{curl}(\nabla g)) = \text{div}\, \text{curl}(f\nabla g) = 0.$$

Aquí hemos utilizado que la divergencia de una curvatura es cero y el rizo de un gradiente es cero.