Lo que está mal con mi prueba por contradicción?

Question

No existen números enteros $a$ $b$ que $18a+6b=1$.

Prueba: Supongamos que $18a+6b=1$. Nos encontramos con que $$6(3a + b)=1$$ lo que conduce a $$3a+b=\frac16$$
Sabemos que la suma de dos números enteros no puede producir un resultado no entero, por lo tanto, una contradicción surge, como la prueba demuestra que dos números enteros puede producir un no-valor entero. $\blacksquare$

Mi profesor dijo que si uno termina con fracciones en una prueba, probablemente hay un problema. Alguien puede explicar por qué este es el caso?

Answer 1

Estoy asumiendo que usted está en un número de clase de teoría o álgebra abstracta. En este nivel de este curso, no hemos formalmente reintroducido $\Bbb Q $, por lo que las fracciones no existir formalmente todavía.

Tenemos la multiplicación y la suma. Y tenemos los números enteros.

La mejor prueba es demostrar que el $\gcd(18,6)=6$ y, por tanto, que el más pequeño positivo de la combinación lineal de $18$ $6$ que podemos hacer es $6$.

Answer 2

$18a+6b=2\cdot(9a+3b)$ es un número par, por lo que no puede igualar $1$ que es un número impar.

Answer 3

La idea central de su argumento se ve bien para mí. Sospecho que lo que su profesor tenía en mente, es que no se debe escribir $3a + b = \frac{1}{6}$. Debe decir simplemente que $$ 6(3a + b)=1 $$ no es posible en números enteros, ya que $6$ no es un elemento invertible en a $\mathbb{Z}.$

Answer 4

Bueno, todo el razonamiento es correcto, pero, en realidad, uno podría preguntarse por qué exactamente $\frac 1 6$ no es entero? Para responder apropiadamente a esto, uno necesita saber cómo los números racionales se definen. Bien, supongamos que $\frac 1 6$ es un entero. Eso significa que no es entero $k$ tal que $\frac 1 6 = \frac k 1$. A partir de la definición de racionales, esto ocurre si y sólo si $6k = 1$ (como se puede ver, estamos de vuelta a tu pregunta original). Para finalizar la argumentación, una sostiene que la $6$ no divide $1$ $\Bbb Z$ para conseguir ello, por lo $\frac 1 6$ no puede ser entero.

Answer 5

Bueno, aquí creo que su profesor significa que si usted agregar dos números enteros, nunca se debe obtener un número que no es un número entero.

Esto es debido a que los números enteros son "cerradas" en virtud de la adición (y también la multiplicación). Matemáticamente hablando, cualquiera de los dos elementos de los números enteros decir $a$ $b$ puede ser combinado como $a+b$ o $ab$ y aún así sólo dar un resultado que es un número entero.

Nota al margen: ¿por qué los enteros no ser cerrado bajo la división?