Cuando se indica un teorema en el libro de texto, el uso de la palabra "Para todos" o "Vamos"?

Question

(Algunos informan que mi pregunta es similar a otro post. Sin embargo, que el post está hablando acerca de la escritura de la "prueba", en lugar de ", declarando que" el teorema. "Probar" un teorema NO es de la misma estructura y situación como "declarando" un teorema. Así que esta pregunta es que no se duplique para el otro! No deja de ser cerrado! Y por cierto, yo también soy el OP de esa pregunta...)

En la escritura de un libro de texto, cuando necesitamos declarar un teorema que es una cuantificación universal, se puede utilizar la palabra

"para todos ..."(o, equivalentemente,"para cada", "para cualquiera", "arbitrario", "para cada")

o

"vamos a ...",

Cuál de estas formas es la más ideal? Por qué?

Aunque creo que la escritura como "para todos" es la forma más natural para reflejar la estructura lógica, que es el cuantificador universal $\forall$, el popular estilo que he visto tiende a usar el "vamos".

Cualquier aspecto teórico o experiencia es bienvenida.

Ejemplo 1.

1. Para todos los números naturales $n$ si $n$ es incluso, a continuación, $n$ cuadrado es par.

2. Deje $n$ ser un número natural. Si $n$ es incluso, a continuación, $n$ cuadrado es par.

Ejemplo 2.

1. Deje $A,B$ dos juegos. Si para todos $x\in A$, $x\in B$, luego nos dice $A$ es un subconjunto de a $B$.

2. Para todos los pares de $A,B$ de los conjuntos, si para todos $x\in A$, $x\in B$, luego nos dice $A$ es un subconjunto de a $B$.

Ejemplo 3.

1. Deje $Y$ ser un subespacio de $X$. A continuación, $Y$ es compacto si y sólo si cada cubrimiento de $Y$ por conjuntos abiertos en $X$ contiene un número finito de subcolección cubriendo $Y$. (Munkres Topología Lema 26.1)

2. Para todos los subespacios $Y$ de $X$, $Y$ es compacto si y sólo si cada cubrimiento de $Y$ por conjuntos abiertos en $X$ contiene un número finito de subcolección cubriendo $Y$.

Ejemplo 4.

1. Para cada $f:X\to Y$ ser un bijective función continua, si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces $f$ es un homeomorphism. (adaptado por mí, tal vez mal grammared?)
2. Para cada bijective función continua $f:X\to Y$ si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces $f$ es un homeomorphism. (adaptado por mí.)
3. Deje $f:X\to Y$ ser un bijective función continua. Si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces $f$ es un homeomorphism. (Munkres Topología Teorema De 26.6)

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Añadido un nuevo ejemplo 5 (Me he saltado la cuantificación en $E,f:E\to\mathbb{R},L,c$, sólo se centran en el elemento clave aquí.)

1. Si "$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in E,0<|x-c|<\delta\rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$", entonces podemos decir $f(x)$ converge a $L$ al $x$ enfoques $c$.
2. Si, para todos los $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todos los $x\in E$ si $0<|x-c|<\delta$$|f(x)-L|<\varepsilon$", entonces podemos decir $f(x)$ converge a $L$ al $x$ enfoques $c$. (El uso de "para todos")
3. Si se deja en $\varepsilon>0$,$\delta>0$, de tal manera que deje $x\in E$ si $0<|x-c|<\delta$$|f(x)-L|<\varepsilon$", entonces llamamos a $f(x)$ converge a $L$ al $x$ enfoques $c$. (El uso de "vamos". Creo que este tipo no es natural. Pero no puedo decir por qué.)

Answer 1

Si usted está haciendo informal de las matemáticas, no hay realmente ninguna diferencia. Supongo que a partir de un tipo de la teoría de la perspectiva, es una especie de la diferencia entre el $$x:\mathbb{R} \vdash P(x) \qquad \mbox{and} \qquad \vdash (\forall x:\mathbb{R})\,P(x).$$

El primero es sin duda mejor, porque no se debe presuponer que estamos trabajando en una categoría en la que interpreta cuantificación universal. Así que "vamos" es preferible a "para todos" por esta razón. Pero, de nuevo, a menos que usted está haciendo muy formal de las matemáticas, no es realmente vale la pena preocuparse. (Digo eso, pero una parte de mí se encuentra la cuestión fascinante, y me he ido y favourited).

Answer 2

En el primer ejemplo, está bien. En el segundo ejemplo, 2 es gramático - usted no puede simplemente reemplazar "Vamos" con "Para todos", el "ser" ha de ser eliminado (o sustituido con "que"). De lo contrario, está bien.

En los tres ejemplos, te darás cuenta de que tu "Para todos" ejemplo de resultados en un largo, un poco torpemente-enunciado de la frase con al menos tres cláusulas. El "Vamos" versión divide la oración en dos simples frases, de modo que el lector puede procesar un paso a la vez.

En general, "Para todos" está bien, siempre y cuando la cosa está cuantificación es pequeña y no requiere ningún trabajo comprender. Si el lector va a tener que pensar en ello, incluso un poco - por ejemplo, "sistema de ecuaciones lineales en cinco variables" - yo uso la de "Permitir".

También - y estoy bastante seguro de que esto es sólo una preferencia personal - trato de evitar tener más de dos partes de una frase en un teorema matemático, si puedo. "Si $X$ $Y$" está bien, pero "Si $X$ si $Y$ $Z$" es feo. Del mismo modo, "Para todos los $x$ si $Y$ $Z$" es complicado, y se pone peor, el más complicado de $x$, $Y$, y $Z$.

Answer 3

Como un punto de vista personal me gustaría, en primer lugar "arreglar" lo que estoy trabajando con un deje, y luego el estado de mi propiedad con para todos si es necesario.

Así que mi forma canónica sería:

Dejar que un ser algo, b a ser algo, y c ser algo. Si para todos los d tales que algo en a,b,c y d, entonces tenemos algo grande en a,b,c

Creo que es la manera más legible para el estado de un teorema.

Así que para ir a través de sus ejemplos:

Ejemplo 1.

Deje $n$ ser un número natural. Si $n$ es incluso, a continuación, $n$ cuadrado es par.

Ejemplo 2.

Deje $A,B$ dos juegos. Si para todas las $x\in A$,$x\in B$, entonces decimos que la $A$ es un subconjunto de a $B$.

Ejemplo 3.

Deje $Y$ ser un subespacio de $X$. $Y$ es compacto si y sólo si cada cubrimiento de $Y$ por conjuntos abiertos en $X$ contiene un número finito de subcolección cubriendo $Y$. (Munkres Topología Lema 26.1)

Ejemplo 4.

Deje $f:X\to Y$ ser un bijective función continua. Si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces $f$ es un homeomorphism. (Munkres Topología Teorema De 26.6)

** ejemplo 5**

Deje $E,f:E\to\mathbb{R},L,c$ ser las cosas. Si para todas las $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$, de tal manera que para todos los $x\in E$, $0<|x-c|<\delta\rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$", luego nos dice $f(x)$ converge a $L$ al $x$ enfoques $c$.

Answer 4

Parte de esto es una cuestión de estilo - que no es muy importante. Pero hay un par de "técnica" problemas con algunos de sus ejemplos.

Ejemplos 2.1 y 2.2:

Si para todos $x \in A$, $x \in B$, entonces ...

Si se analiza esta como "Si ( para todos los $x \in A$$x \in B$ ) ..." no tiene sentido. El significado es "Para todos los $x$ si $x \in A$ implica que el $x \in B$, decimos ...".

Puesto que usted está considerando el $x$'s "en vez de" he aquí, yo preferiría "para cada uno de los/cualquier/todos los $x$" a "para todos los $x$".

Ejemplo 3.2:

Yo preferiría "para cada uno de los/cualquier/todos los subespacio" a "para todos los subespacios", por la misma razón que el anterior.

Ejemplos 4.1, 4.2

La gramática parece un poco complicado aquí. La declaración principal es de la forma "Si (los locales) entonces (la conclusión)", pero tiene una subsidiaria de la cláusula (indicando las propiedades de $X$$Y$) después de los locales. Me gustaría volver a pedir 4.1 como algo parecido

Si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces cada bijective función continua $f:X \to Y$ es un homeomorphism.

y lo mismo para 4.2.

Ejemplo 5.3

"Si vamos a $\epsilon > 0$ ...", no es correcta la gramática inglesa. Usted necesita una cláusula después de que el "Si", pero "vamos a $\epsilon > 0$ ... entonces $|f(x)−L|< \epsilon$" es una frase completa, no una cláusula dentro de la más grande de la frase que empieza con "Si".

Answer 5

Un ejemplo donde esto puede importar es cuando se trabaja con la lógica formal, en particular cuantificador de la lógica. En ese caso, $\forall$ tiene un significado muy específico, y es muy importante distinguir claramente la lógica formal en sí y la meta-lógica de la prueba de las cosas acerca de la lógica formal. Por esa razón, puede ser más clara para evitar la frase "para todos" en su totalidad desde la meta-lógica, para evitar cualquier confusión con el $\forall$ símbolo.