Comentarios por Anweshi
El punto esencial es lo que Emerton mencionado, es decir, la analogía con la del teorema de Minkowski en los campos de número con la ramificación. El principio básico es que "la aritmética es la geometría". El número de anillos en un sentido de cero objetos tridimensionales, curvas elípticas, uno de los objetos tridimensionales y abelian variedades corresponden a las dimensiones superiores. Así que tenemos del teorema de Minkowski. Y nos preguntamos, ¿podemos extender a las dimensiones superiores? Tate, después de la creación de la teoría correctamente como en su famoso artículo sobre la aritmética de curvas elípticas, demostró que es bastante trivial para curvas elípticas(como Emerton menciones). Ahora la tarea es para abelian variedades.
Fontaine viene, y resulta que es de hecho el caso. Pero la prueba resulta ser mucho más complicado de lo esperado. Él construyó un montón de "teoría de la Fontaine" alrededor de este. Se va en $p$-ádico teoría de Hodge, $p$-ádico representaciones de Galois etc. Trabajó en ella durante unos 15 años en aislamiento, se dijo. El primer gran éxito de su teoría fue este teorema, y más tarde ganó popularidad. Ahora es una importante vía de investigación en la aritmética geometría.
Referencias:
- Neukirch, la teoría Algebraica de números, para la filosofía general que "la aritmética es la geometría".
- Notas de Robert Coleman curso de Fontaine de la teoría de la misteriosa functor
- El Bourbaki exponer de Bearnadette Perrin-Riou. Fonctions L p-adiques des représentations p-adiques, Astérisque 229, (1995).
- Tate, La Aritmética de Curvas Elípticas, de la Encuesta de Artículo, Inventiones.
Podría ser también merece la pena echar un vistazo a los artículos sobre finitos planos grupo de sistemas en el volumen de la Aritmética Geometría de Cornell y Silverman, y en el volumen de las formas Modulares y el Último Teorema de Fermat por Cornell, Silverman y Stevens. Todo esto está íntimamente conectado con ellos, como Emerton menciona. De hecho, usted puede encontrar un punto de vista particular, por Fontaine en Finitos Planos grupo de Esquemas.
Hay también podría tratarse de una simple motivic explicación de esto, sin entrar en las complejidades de la teoría de la Fontaine. La razón por la que me lo creo, es el siguiente. He escuchado la respuesta de que no hay ninguna curva elíptica más de $F_1$ porque a partir de la zeta de las funciones de los motivos resultan ser mezclado Tate. Pero, por otro lado, mi propia "prueba" de este hecho fue que si había una curva elíptica o abelian variedad de más de $F_1$, sería extensible a $Spec\ Z$ y no por Fontaine del teorema de la única abelian esquema es el trivial. Desde siempre me he preguntado, si es posible sustituir la Fontaine, la teoría de los argumentos con motivic.
Emerton aclaró para mí en este sentido: a partir De un número teórico del punto de vista, p-ádico teoría de Hodge es uno de los ingredientes clave en la teoría de los motivos, por lo que estos argumentos son motivic, en un cierto sentido. (Tal vez se puede decir que la p-ádico Hodge teoría codifica propiedades aritméticas de los motivos en forma de forma análoga a la manera en que la teoría de Hodge codifica geométrico y analítico de las propiedades.)
Así, por Emerton la respuesta, Fontaine teoría parece ser por lo tanto una parte más profunda de los motivos. Sin embargo, esto "no abelian variedad, más de Z" teorema de la Fontaine fue la primera aplicación importante de la Fontaine de la teoría. Me imaginaba que, si los resultados de la Fontaine de la teoría iban a ser reemplazados por costumbre motivic argumentos, entonces este debe ser el primer candidato.
Antes de parar, no puedo dejar de mencionar la íntima conexión de todo esto con la teoría de Iwasawa. Fontaine, la teoría está muy enredado con ella, como puede verse en la exposición de Perrin-Riou. Sin embargo, el más conocedor de la gente debe aclarar en este.
Este podría ser un buen lugar para mencionar la conferencia en honor de la Fontaine. Él está a punto de jubilarse, después de sus grandes logros.
Comentario por Ilya
Creo que esto debería ser, en efecto, relativa a los motivos. (actualización: creo que los demás siempre algunas buenas referencias.)
Comentarios de Emerton
(1) hubo anteriores de las aplicaciones de la Fontaine resultados en el plano finito grupo de sistemas; por ejemplo, jugaron un papel en la Mazur prueba de acotamiento de torsión de curvas elípticas más de $\mathbb Q$. Digo esto sólo para enfatizar que la Fontaine de la teoría de la realidad no se desarrollan en forma aislada.
Su teoría es profundo y técnico, y se tomó tiempo para que la absorba. Pero la teoría de la finitos planos grupo de esquemas y $p$-divisible grupos tiene una larga historia entrelazada con la aritmética: hay resultados volviendo a la Aod, Raynaud, y Tate; Fontaine generalizado de estos; ellos fueron usados por Mazur en su trabajo, y por Faltings; Fontaine generalizado de más de $p$-ádico Hodge teoría (teoría cuya existencia fue en parte conjetura anterior por Grothendieck, motivado, entre otras cosas, el trabajo de Tate); ... . Uno no debería pensar en estas ideas como esotérico (a pesar de la `magia negra" de la etiqueta); ellos son y siempre han estado a la vanguardia de la interacción entre la geometría y la aritmética, en un tipo u otro. (Otra de la ilustración, de la Fontaine, la teoría también estrechamente vinculado con temas anteriores en el trabajo de Obra.)
(2) no estoy seguro de que hay un tipo particular de costumbre motivic argumento. La frase motivo que evoca una gran cantidad de imágenes diferentes en diferentes pueblos de la mente, pero una manera de pensar en lo que motivic significa es que es el estudio de la geometría a través de estructuras en cohomology. Desde este punto de vista, $p$-ádico teoría de Hodge es sin duda una natural e importante herramienta.
Aquí están algunos de los papeles que le dan las ilustraciones de $p$-ádico Hodge teórico reasonsing en lo que podría ser considerado como un motivic contexto:
Grothendieck, de la Onu theoreme sur les homomorphismes de esquemas abeliens, un maravilloso papel.
Aunque los resultados son esencialmente recuperado y generalizado por Delignes trabajo en su Hodge II de papel, nos da una fantástica ilustración de cómo $p$-ádico Hodge teórico de los métodos puede ser utilizado para deducir teoremas geométricos.
Kisin y Wortmann, Una nota en Artin motivos
Kisin y Lehrer, los Autovalores de Frobenius y Hodge números
James Borger, Lambda-anillos y el campo con uno de los elementos
Estos tres son elegidos para ilustrar cómo $p$-ádico Hodge teoría argumentos se pueden utilizar para hacer geométrica/motivic deducciones. El papel de Borger es un intento, en parte para proporcionar fundamentos de la teoría de sistemas en el campo de un elemento, y se ilustra cómo $p$-ádico Hodge teoría juega un papel serio en su estudio.
Maulik, Poonen, Voisin, Nerón-Severi grupos en virtud de la especialización, un excelente papel, que
ilustra la posibilidad de utilizar cualquiera de los $p$-ádico de Hodge de la teoría de argumentos o clásica Hodge de la teoría de argumentos para hacer deducciones geométricas. (Este es el mismo tipo de complementariedad como en Grothendieck del papel por encima en comparación con Deligne del Hodge II.)
Comentarios por Anweshi.
@Emerton, o a cualquier otra persona: Si hay algo que no tiene sentido en mi incursión en la "motivic" imágenes, o de algo que no tiene sentido, por favor siéntase libre de borrar y editar en cualquier forma que usted desee.
una pregunta más por Thomas:
La gran referencias dadas por encima de déjeme preguntarle sobre el estado actual de las muchas conjeturas y preguntas abiertas en Illusie de la encuesta, por ejemplo, la finitud teoremas, cristalina coeficientes geométricos semistability,... ?
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ilya comentario: creo que sería muy útil si alguien publicó una cuestión a lo largo de las líneas de lo que Thomas sugiere, especialmente de llenado en algunos antecedentes de Illusie del papel (yo lo haría, pero no tengo el documento en sí).
** Anweshi comentario de:** la Fontaine de la teoría utiliza una gran cantidad de cristales de cohomology. Por ejemplo, consulte Robert Coleman notas mencionadas anteriormente.
