$n$ de puntos en cada línea

Question

¿Para que enteros $n$ es posible encontrar un subconjunto $S$ $\mathbb R^2$ tales que cada línea infinita contiene exactamente puntos del #% de $n$% #%?

Answer 1

Según Gelbaum y Olmsted, contraejemplos en análisis, el capítulo 10, el problema 21, página 144, "F. Galvin ha demostrado lo siguiente: si puntos de $1\lt n\le\aleph_0$ entonces hay un sistema no-mensurable en el plano tal que la intersección de $S$ con cualquier línea consiste en precisamente $n$." Por desgracia, no se dan datos bibliográficos.

Answer 2

Yo no he visto Galvin del argumento, pero aquí está uno que trabaja para el finito de casos.

Fix $n>1$. Deje $\mathscr{L}=\{L_\xi:\xi<2^\omega\}$ ser una enumeración de las líneas en el plano. Supongamos que $\alpha<2^\omega$ y que para cada una de las $\beta<\alpha$ tenemos un conjunto $A_\beta\subseteq\mathbb{R}^2$ tal que

$\qquad(0)_\beta:\qquad$ $A_\xi\subseteq A_\beta$ para cada $\xi<\beta$;
$\qquad(1)_\beta:\qquad$ $|A_\beta|\le |\beta|+\omega$;
$\qquad(2)_\beta:\qquad$ $n+1$ $A_\beta$ son colineales; y
$\qquad(3)_\beta:\qquad$ por cada $\xi<\beta$, $|L_\xi \cap A_\beta|=n$.

Deje $A_\alpha'=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}A_\beta$. Si $\alpha$ es un ordinal límite, vamos a $A_\alpha=A_\alpha'$; claramente $(0)_\alpha-(3)_\alpha$ mantener.

Si $\alpha=\xi+1$, $L_\xi$ cruza $A_\alpha'$ $k$ puntos para algunas $k\le n$. Si $k=n$, vamos a $A_\alpha=A_\alpha'$; como antes, $(0)_\alpha-(3)_\alpha$ mantener. De lo contrario, deje $B$ ser la unión de las líneas determinadas por colineales $n$-punto de subconjuntos de a $A_\alpha'$; hay menos de $2^\omega$ de las líneas, por lo $|L_\xi\setminus B|=2^\omega$, y podemos elegir un conjunto $F_\xi \subseteq L_\xi \setminus B$ de cardinalidad $n-k$. Si nosotros, a continuación, establezca $A_\xi = A_\alpha'\cup F_\xi$, $(0)_\alpha-(3)_\alpha$ están satisfechos.

Ahora vamos a $A = \bigcup\limits_{\xi<2^\omega}A_\xi$; luego de cada línea en el plano intersecta $A$ exactamente $n$ puntos.

(Supongo que debe ser observado que $n=0$ también funciona!)