Raíces de ln de una plaza

Question

Problema:

$$ y=\ln((3x-2)^2) $$

Indique el dominio y las coordenadas del punto donde la curva cruza el eje de x

A primera vista, usted dice que el dominio es $x>\frac23$ porque $\ln$ no está definido para números negativos, por lo que acaba de reorganizar $3x-2>0$.

Pero la entrada de $\ln$ es cuadrado, lo que significa que hay 2 raíces, es decir,$1$$\frac13$.

Contradicción:

Por la ley de los logaritmos $$ \ln(x^2)=2\ln(x) $$ Por lo tanto, la función de $y$ puede escribirse como $$ y=2\ln(3x-2) $$ El problema es que la mitad de la gráfica desaparece. Ahora que la entrada no es el cuadrado de $y$ no está definido para $x\le\frac23$ ($3x-2$ se convierte en negativo) y toda la mitad izquierda se ha ido.

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Así que ¿cuál es la respuesta? Cuántas raíces están allí? Parece que la matemática es contradecirse a sí mismo.

Answer 1

Su ley de logaritmos sólo funciona si el dominio tiene sentido. No escriba que $\ln((-4)^2)=2\ln(-4)$ $\ln(-4)$ no está definido. Lo que sería mejor escribir es realmente:

$$\ln(x^2)=2\ln(|x|)$$

Esto llevaría a dos soluciones como:

$$\ln(3x-2)^2=0$$

$$2\ln(|3x-2|)=0$$

$$\ln(|3x-2|)=0$$

$$|3x-2|=1$$

$$3x-2=\pm1$$

$$3x=1,3$$

$$x=\frac{1}{3},1$$

Answer 2

El error está en su sencillez, debería ser $$\ln x^2 = \ln |x|^2 = 2\ln |x|$ $ como el cuadrado elimina los negativos repentinamente no en calzador y parece que vuela. Más allá de eso es sólo una cuestión a resolver cuando $(3x-2)\neq 0$