Conclusión

Question

Estoy tratando de encontrar el límite de:

$$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{2} - 1)$$

Sé debe ser muy simple pero no parecen de conseguirlo. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Cabe señalar que podemos definir la logartihm (natural) de un número $x>0$ como

$$L(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^h-1}{h}$$

Aunque puede llevar un tiempo, no es terriblemente complicado para probar que esta función, de hecho tiene las propiedades definitorias del logaritmo.

$$\tag 1 L(xy)=L(x)+L(y)$$ $$\tag 2 L(x^a)=a L(x)$$ $$\tag 3 1-\frac 1 x \leq L(x)\leq x-1$$ $$\tag 4\lim_{x\to 0}\frac{L(x+1)}{x}=1$$ $$\tag 5 L'(x)=\frac 1 x$$

Tenga en cuenta que $1\Rightarrow 2 \;(a\in \Bbb Z)\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 5$.

Por otro lado, le da un uso ingenuo de la regla de L'Höpital,

$$\lim_{h\to 0}\frac{x^h-1}{h}\mathop=\limits^{\frac 0 0}\lim_{h\to 0}\frac{x^h\log x}{1}=\log x$$

Si usted está interesado en las pruebas, házmelo saber.

Answer 2

Hay varias respuestas y comentarios que sugiere la regla de L'Hospital.

De hecho, es un poco más fácil - sólo es necesario la definición de la derivada.

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^{1/n}-1}{1/n}= \lim\limits_{x\to0} \frac{2^x-2^0}{x-0}$$

Así que esta expresión es precisamente el valor del derivado de $f(x)=2^x$ $x=0$.

Si ya sabes que es el derivado de $f(x)=2^x$ $f'(x)=\ln 2 2^x$, entonces usted tiene $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^{1/n}-1}{1/n}= f'(0)=\ln 2.$ $

Answer 3

Hint $$\lim _ {x\rightarrow 0} \frac{2^x-2^0}{x-0}=\ln2$$

AÑADIDO: $$2^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln2}{n}}=1+\frac{\ln2}{n}+\mathrm{O}\left ( \frac{1}{n^2} \right )$ $

Answer 4

Sugerencia: Escriba el límite de $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\frac{1}{n}}$ y tenga en cuenta que $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$. ahora uso la regla de L'Hospital y Consejo de clark

Answer 5

Tomar la función $\,f(x):=x(\sqrt[x] 2-1)\,$ y apliquemos a L'Hospital:

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{2^{1/x}-1}{1/x}\stackrel{\text{L'H}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(-\frac{1}{x^2}\right)\log 2\cdot 2^{1/x}}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to\infty}\log 2\cdot 2^{1/x}=\log 2$$

Por supuesto, el límite será la misma si tomamos

$$\lim_{n\to\infty}f(n)\,\,,\,n\in\Bbb N\,$$