¿Mapa nonexpanding entre colectores disminuye de volumen?

Question

Deje $M,N$ ser diffeomorphic compacto de Riemann colectores, y deje $f:M \to N$ ser inextensible mapa (me.e Lipschitz con constante $1$). Suponga que

$(1)$ $f$ es estrictamente inextensible, yo.e existe $p,q \in M$ tal que $d(f(p),f(q)) < d(p,q)$.

$(2)$ La imagen $f(M)$ es un submanifold de $N$. (Nota: no asumo $f$ es suave).

Es cierto que $\operatorname{Vol}(f(M))<\operatorname{Vol}(M)$?

Si ayuda, podemos asumir para empezar a $M,N$ tener vacío el límite.

Tenga en cuenta que si no asumimos $M,N$ son diffeomorphic, entonces la respuesta es negativa:

$f:[0,2\pi] \to \mathbb{S}^1, f(t)=e^{it}$ es estrictamente inextensible, sino $\operatorname{Vol}(f([0,2\pi])=\operatorname{Vol}(\mathbb{S}^1)=\operatorname{Vol}([0,2\pi])$.

Resultado parcial:

$(1)$ En el caso de que $M=N$ (como colectores de Riemann), la respuesta es positiva.

Asumir lo contrario; a Continuación,$\operatorname{Vol}(f(M))=\operatorname{Vol}(M)=\operatorname{Vol}(N)$, por lo tanto $f(M)=N$, yo.e $f$ es surjective. (De lo contrario $f(M)$ será un cerrado subconjunto de $N$, estrictamente contenida en $N$, contradiciendo la igualdad de volúmenes).

Por eso, $f$ es un surjective inextensible mapa de un espacio métrico compacto a sí mismo, por lo que una isometría. (Ver Burago-Burago-Ivanov "Un curso de geometría métrica", teorema de 1.6.15).

$(2)$ En el caso de los colectores son uno-dimensional, y $f$ es surjective, la respuesta es positiva:

Asumir lo contrario. A continuación,$\operatorname{Vol}(N)=\operatorname{Vol}(M)$. Ya que cada dos compactos conectado unidimensional de Riemann colectores con volúmenes iguales son isométrica, existe una isometría $\phi:N \to M$. Por lo tanto, $f \circ \phi:N \to N$ es un surjective inextensible mapa de un espacio métrico compacto a sí mismo, por lo tanto una isometría.

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Resultado $(1)$ sugieren que podría ser más fáciles de manejar el caso en que $\operatorname{Vol}(M)=\operatorname{Vol}(N)$. La pregunta entonces es equivalente a la siguiente:

Puede estrictamente inextensible mapa entre dos compacto de Riemann colectores del mismo volumen se surjective?

Answer 1

Aquí está @AntonMalyshev contraejemplo en detalle (para el caso de los colectores con esquinas):

Deje $M$ ser la unidad de la plaza de $[0,1]\times [0,1]$, modulo de identificación de $(0,t)\sim (1,t)$ por cada $t\in [0,1/3]$. Este es un colector con las esquinas (por ejemplo, un bastante pequeño barrio de el punto de $(0,1/3)\sim (1,1/3)$ es diffeomorphic a $[0,\infty)\times[0,\infty)$). La distancia entre la $(0,1)$ $(1,1)$ puede ser fácilmente verificada a ser $1$.

Deje $N$ ser la unidad de la plaza de $[0,1]\times [0,1]$, modulo de identificación de $(0,t)\sim (1,t)$ por cada $t\in [0,2/3]$. Aquí la distancia entre el $(0,1)$ $(1,1)$ es en la mayoría de las $2/3$, como se muestra por la curva $$\gamma(t) = \begin{cases} (0,1)(1-t) + (0,2/3)t & t\in[0,1] \\ (1,2/3)(2-t) + (1,1)(t-1) & t\in[1,2]. \end{casos}$$

Obviamente $M$ $N$ son diffeomorphic como colectores con esquinas, y tienen el mismo volumen. El trivial mapa de $M\to N$ es surjective, el volumen de preservar y estrictamente no gastar de acuerdo a su definición.