Vamos a V y yo ser instantáneos de tensión y corriente en una carga. A partir de la definición de potencia, voltaje y corriente, tenemos la relación de potencia instantánea:
\$ p(t) = v(t) \cdot i(t) \$
Lo que significa que el poder en un instante dado \$ t \$ es igual al producto de la tensión y de la corriente exactamente en ese instante.
Voy a asumir que usted está familiarizado con lo que el fasor representación en realidad significa. Sólo para el estado que en breve: un fasor es un matemático de la taquigrafía para la representación de una sinusoide a una determinada frecuencia desconocida.
Así, \$ V=V_{M} ∠ \phi _{V} \$ es una abreviación de \$ v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})\$. De forma similar: \$ I=I_{M} ∠ \phi _{I} \$\$ i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})\$.
Multiplicando \$ v(t) \cdot i(t) \$ para todos \$ t \$, nos da la forma de onda de la potencia instantánea para cada \$t\$. De trabajo en la que la multiplicación:
\$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})\$
Como \$ cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]\$, con \$ u = \omega t+ \phi _{V} \$\$ v = \omega t+ \phi _{I} \$, podemos simplificar la ecuación anterior:
\$ s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})] \$
Esta forma de onda es muy interesante para sí mismo: es un valor constante \$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I}) \$ suman por una sinusoide \$ \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]\$.
Esto muestra claramente que la potencia instantánea que no es constante con el tiempo.
Basándose en este resultado, podemos ver que la media de la potencia es igual a la no variación de los componentes de \$ s(t) \$ (es bastante sencillo probar que matemáticamente, uno sólo tiene que resolver la integral \$ \cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}\$ )
Motivados por este resultado, y por la buenísima interpretación geométrica de \$ VIcos(\phi _{V} - \phi _{I}) \$, valor que se ha definido como el poder real, es decir, la potencia que se entrega a la carga. Ahora usted sabe que este así llamado poder real no es nada más que la media de la potencia en la carga.
Bucear en este concepto un poco (es una pena, yo no puedo dibujar aquí, pero voy a tratar):
Vamos a v ser un vector con magnitud ||v|| y la fase de \$ \phi_v \$, y puedo ser un vector con magnitud ||i|| y la fase de \$ \phi_i \$
Si se multiplica ||i|| por \$cos(\phi_v-\phi_i)\$ tiene la proyección de e sobre v.
Por otro lado, \$||i||sin(\phi_v-\phi_i)\$ se dice que es el componente de i en cuadratura con v.
Ahora usted puede entender por qué la potencia media tiene una genial interpretación geométrica: la potencia media es el voltaje multiplicado por la proyección de la corriente sobre el voltaje, en el fasor espacial.
Esto motivó la creación de los complejos de potencia de S como:
S = P + jQ
Con esta definición, la parte real del vector es exactamente la potencia media entregada a la carga, y la parte compleja es el poder, dijo estar en cuadratura, se llama potencia reactiva (de google para Poder Triángulo para ver la interpretación geométrica de este resultado).
Ok, ahora, volviendo a la \$ s(t) \$ definición, vemos que \$ P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) \$\$ Q \$, por definición, y para cumplir con la definición de S, es igual a \$ \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i) \$
Así que, como queríamos demostrar en el principio:
\$ S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)\$
\$ S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]\$
\$ S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2} \$
\$ S = \cfrac{V \cdot I*}{2} \$
Por lo tanto, hay que ir, lo que quería ver ;)
edit: ¿Cuál es la interpretación física de Q?
He mostrado arriba ¿cuál es la interpretación física de la parte real del complejo de poder, P, es decir, la potencia media entregada a la carga. Pero, ¿qué es exactamente Q, ¿cómo se puede visualizar? Se basa en el hecho de que el cos y el pecado son ortogonales, y el principio de superposición se puede aplicar a poder si las dos formas de onda que intervienen en el cálculo son ortogonales. Vamos a entrar en las matemáticas, porque eso es realmente lo que importa.
Utilizando el resultado obtenido anteriormente: \$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})] \$
Primer caso: puramente resistiva de la carga, por lo que \$ \phi _{V} - \phi _{I} = 0\$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))] \$
Que es una sinusoide centrado en \$ \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \$ con la misma amplitud (su valor mínimo es 0 y su valor máximo es de \$ V_{M}I_{M} \$ ). Vamos a llamar P
Segundo caso: puramente carga inductiva, por lo que \$ \phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2} \$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]\$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [el pecado(2(\omega t+ \phi _{V}))]
\$
Que es puramente oscilatorio de forma de onda con el valor de la media igual a 0. Vamos a llamar a este resultado Q.
Tercer caso: el caso genérico \$ \phi _{V} - \phi _{I} = \theta \$
En este caso, s(t) es exactamente la ecuación general nos encontramos en la discusión anterior. Pero podemos reescribir que hacer uso de el resultado de los dos anteriores casos, como este:
En primer lugar, podemos reescribir la ecuación en términos de \$ \theta \$ (aviso que \$ \phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta \$):
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)] \$
Sabiendo que:
\$ cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)\$, dejando \ $ x = 2(\omega t+ \phi _{V}) \$ \$ y = \theta \$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]\$
La reorganización de los términos:
\$ s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))\$
Utilizando el resultado de los dos primeros casos anteriores:
\$ s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q \$
Un resultado sorprendente, ¿verdad? ¿Qué significa eso?
Volvamos a lo que estamos haciendo: cálculo de la potencia para el caso genérico donde \$ \phi _{V} - \phi _{I} = \theta \$, es decir, solvig la ecuación:
\$ s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I) \$
Podemos reescribir \$ i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I) \$ en forma de \$ i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V) \$?
Vamos a tratar:
\$ \phi_I = \phi_V - \theta \$
\$ i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta \$) \$
Dejar \ $ \omega t + \phi_V = u \$ \$ \theta = v \$
Con la relación:
\$ cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v) \$
Tenemos:
\$ i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V) \$
Justo lo que quería, volver a escribir i(t) como una suma de dos componentes: uno en fase con v(t), y uno en cuadratura con v(t)!
Ahora el resultado del caso 3 se explica: i(t) se puede descomponer en dos componentes, como se muestra arriba, y el poder generado por i(t) es igual a la potencia generada por cada uno de estos componentes de forma individual. Whoa, como superposición, pero para poder! (Recuerde que esto sólo es cierto, y se ha comprobado anteriormente, debido a que cos y el pecado son ortogonales)
Así Q es la cantidad de energía generada por el componente de i(t) que está en cuadratura con v(t). Es puramente oscilatorio y no tiene ningún valor de la media.
P es la cantidad de energía generada por el componente de i(t) que está en fase con v(t). Es oscilatorio, pero tiene un valor medio que es igual a la potencia media entregada a la carga.
Y el complejo de energía S, la potencia total, es exactamente la suma de estos dos componentes
