Conjetura de forma cerrada para \int_0^1x^ ${2\ q-1} \,K (x) ^ 2dx$ donde K(x) es la integral elíptica completa de la clase 1ˢᵗ

Question

Estoy interesado en general de forma cerrada fórmula para las integrales de la forma siguiente: $$\mathcal{J}_q=\int_0^1^{2\,p-1}\,K(x)^2dx,\tag0$$ donde $K(x)$ es la integral elíptica completa de la 1ˢᵗ tipo: $$K(x)={_2F_1}\left(\frac12,\frac12;\ 1;\ x^2\right)\frac\pi2\\=\int_0^{\pi/2}\frac{d\phi}{\sqrt{1-x^2\sin^2\phi}}=\int_0^1\frac{dz}{\sqrt{1-x^2z^2\vphantom{|^2}}\sqrt{1-z^2\vphantom{|^2}}}.\tag1$$ Yo no podía encontrar una adecuada integral en DLMF o Gradshteyn-Ryzhik o Prudnikov tablas de integrales. Mathematica no fue capaz de evaluar, incluso cuando el parámetro $q$ se fija a un entero (Nota: En Mathematica que iba a escribir EllipticK[x^2] $K(x)$, porque de una convención diferente para el módulo de parámetros).

Pero, integración numérica y búsquedas en WolframAlpha y CAI+ sugieren que hay formas cerradas (al menos algunos) postitive entero de los valores del parámetro $p$. Por ejemplo,

$$\mathcal{J}_1\stackrel?=\frac{7\,\zeta(3)}4,\ \mathcal{J}_2\stackrel?=\frac{7\,\zeta(3)}8+\frac14,\\\mathcal{J}_3\stackrel?=\frac{77\,\zeta(3)}{128}+\frac{17}{64},\ \mathcal{J}dimm_4\stackrel?=\frac{119\,\zeta(3)}{256}+\frac{881}{3456},\tag2$$ donde $\zeta(3)$ es la Apéry constante. Parece que la fórmula general para postitive valores enteros de $p$ es $$\mathcal{J}_q\stackrel?=a_q\,\zeta(3)+b_q,\tag3$$ donde $a_q,\,b_q$ son algunos de los coeficientes racionales. Traté de encontrar fórmulas para que estos coeficientes, y realmente descubierto plausible candidatos para ambos.

Conjecturally, $a_q$ puede ser expresada en términos de una función hipergeométrica generalizada: $$a_q\stackrel?=\frac{7\,\pi}4\cdot\frac{{_4F_3}\left(\begin{array}{c}\frac12,\,\frac12,\,1-q,\,1-q\\1,\,\frac32-q,\,\frac32-q\end{array}\middle|\ 1\right)}{\Gamma\left(\frac32-q\ \ derecho)^2\ \Gamma(p)^2}.\tag4$$ Algo sorprendentemente baratos, este scarish expresión parece a evaluar sólo racionales para todos los $p\in\mathbb{Z}^+$.

Por $b_q$ encontré sólo un conjetural de la recurrencia de la relación: $$b_1\stackrel?=0,\ b_2\stackrel?=\frac14,\ b_q\stackrel?=\frac{2 \,(2\,p-3)\,\left(2\,q^2-6\,q+5\right)\cdot b_{q-1}-4\,(q-2)^3\cdot b_{q-2}+1}{4\,(q-1)^3},\tag5$$ pero no he podido encontrar una fórmula para el término general.

• Podemos demostrar que las formas cerradas se muestra en $(2)$ son correctas?
• Podemos demostrar que la fórmula de $(3)$ todas $p\in\mathbb{Z}^+$, con algunos racional de los coeficientes de $a_q,\,b_q$?
• Son mi conjetura fórmulas para estos coeficientes $(4),\,(5)$ la correcta?
• Puede que la fórmula de $(4)$ ser ampliada en términos de funciones simples?
• ¿Hay una fórmula para el término general de $(5)$?
• Podemos encontrar (o al menos conjetura) un general de forma cerrada fórmula para $\mathcal{J}_q$ donde $p$ es no necesariamente un número entero?

Answer 1

Como se señaló en un comentario, estas y muchas relacionadas con los resultados se derivan en el excelente papel "de los Momentos de las Integrales Elípticas", por James Wan (http://arxiv.org/abs/1101.1132). Específicamente, el autor muestra que $$K_{1}=\int_{0}^{1}xK(x)^2dx =\frac{7}{4}\zeta(3),$$ que $$K_{3}=\int_{0}^{1}x^3 K^2(x)dx= \frac{1}{4}+\frac{7}{8}\zeta(3),$$ y, finalmente, que la recurrencia $$(n+1)^3K_{n+2} - 2n(n^2+1)K_{n}+(n-1)^3 K_{n-2}=2$$ tiene en general. En términos de su integrales, donde ${\cal J}_q=K_{2t-1}$, nos encontramos con que $${\cal J}_{q}=K_{2t-1}=\frac{2+2(2t-3)((2t-3)^2+1)K_{2t-3}-(2t-4)^3 K_{2t-5}}{(2t-2)^3} \\ =\frac{1}{4(p-1)^3}+\frac{(2t-3)(2t^2-6q+5)}{2(q-1)^3}{\cal J}_{q-1}-\frac{(p-2)^3}{(p-1)^3}{\cal J}_{q 2}.$$ En efecto, entonces ${\cal J}_q=a_q\zeta(3)+b_q$, donde $a_1=7/4$, $a_2=7/8$, $b_1=0$, $b_2=1/4$ y $a_q$ y $b_q$ satisfacer estas relaciones de recurrencia: $$a_{q}=\frac{(2t-3)(2t^2-6q+5)}{2(q-1)^3}a_{q-1}-\frac{(p-2)^3}{(p-1)^3}a_{q 2}$$ y $$b_{q}=\frac{1}{4(p-1)^3}+\frac{(2t-3)(2t^2-6q+5)}{2(q-1)^3}b_{q-1}-\frac{(p-2)^3}{(p-1)^3}b_{q 2}$$ (donde los últimos partidos de su conjetura).