Haz tangente de una curva nodal (específica)

Question

Dado un nodal (= reducido, conectado, proyectivo, tener sólo puntos dobles ordinarios como singularidades) curva $C$ que consta de 5 $\mathbb P^1$ con la etiqueta $C_0, D_1, D_2, D_3, D_4$ tal que $D_i$ intersecta sólo $C_0$ en exactamente un punto $P_i$ y $P_i \neq P_j$ $i \neq j$ transversalmente. La gráfica doble de $C$ es una cruz con $C_0$ en el medio y $D_1, \ldots, D_4$ como hojas.

¿Quiero calcular la dimensión dim $H^0(C, T_C)$ de las secciones globales % Haz tangente $T_C$$C$?

Answer 1

La solución la he encontrado en Hartshorne el libro de la Deformación de la Teoría de la p. 183. Me formular la solución para un arbitrario nodal de la curva de $C$ consta de irreductible compontents $C_i \cong \mathbb P^1$.

Deje $S$ el conjunto de puntos singulares en $C$. Localmente $C$ alrededor de cada nodo en $S$ la curva se parece a $(xy=0) \subset \mathbb A^2$. Por lo tanto, a nivel local, $T_C = xT_D \oplus yT_{D'}$ donde $D, D'$ son los componentes a través del nodo elegido. De ello se sigue, a nivel mundial, tenemos $$ T_C \cong \bigoplus_{C_i \subset C} (\mathcal I_{S\cap C_i} \otimes T_{C_i}), $$ donde $\mathcal I_{S\cap C_i}$ es la gavilla de los ideales de $\mathcal O_{C_i}$ que define el cerrado subscheme $S \cap C_i$ $C_i$ que consta de los nodos en $C_i$. Ahora$h^0(C_i, \mathcal I_{S\cup C_i} \otimes T_{C_i}) = max(3 - \#(S\cap C_i), 0)$, lo que sigue a partir de la $C_i \cong \mathbb P^1$.

Así que la respuesta en el caso de los de arriba de la curva es $h^0 = 8$.