¿Por qué es $F^*(\mathcal L) = \mathcal L^{\otimes p}$ donde $F$ es la absoluta Frobenius y $\mathcal L$ es un inversible?

Question

Supongamos $S$ es tal que $\mathcal O_S$ es asesinado por la multiplicación por $p$. La absoluta Frobenius $F: S \to S$ se define para ser la identidad del subyacente puntos topológica del espacio de $S$, con la gavilla mapa de $F^\#: \mathcal O_S \to \mathcal O_S$ $x \mapsto x^p$ para cualquier sección.

El pullback gavilla se define a ser

$$F^*(\mathcal L) = F^{-1} L \otimes_{F^{-1}\mathcal O_S} \mathcal O_S$$

Donde $F^{-1} \mathcal L$ es el sheafification de la presheaf definido por

$$U \mapsto \lim_{F(V)\supset U} \mathcal L (V)$$

Pero desde $F$ es la identidad sobre el subyacente de espacio, no hemos $F^{-1} \mathcal L = \mathcal L$ y $F^{-1} \mathcal O_S$ = $\mathcal O_S$, y, por tanto,$F^* \mathcal L = \mathcal L$? Yo no puedo ver cómo llevar a $F^\#$ en el cálculo.

Sé que la respuesta intuitiva es que la transición de las funciones son enviados a sus p-th poderes. Pero no puedo trabajar en los detalles.

Answer 1

Aún más simple, y más en general:

Deje $S$ ser un espacio anillado de $\mathbb{F}_p$-álgebras, y deje $F : S \to S$ absoluto Frobenius. A continuación, para cada línea de paquete de $\mathcal{L}$ $S$ tenemos $F^* \mathcal{L} \cong \mathcal{L}^{\otimes p}$.

Prueba. Desde $F^*$ que queda adjunto a $F_*$ (que podría ser visto como una definición), para cada gavilla de módulos de $M$ $S$ tenemos que demostrar $\hom(\mathcal{L},F_* M) \cong \hom(\mathcal{L}^{\otimes p},M)$, de forma natural en $M$. Para $\mathcal{L}=\mathcal{O}_S$ este es trivial, y a ambos lados se identifican con $\Gamma(M)$, y, en general, $\mathcal{L}$ parece localmente como este. Tan sólo tenemos que observar que la isomorphisms pegamento, es decir, que por cada isomorfismo $\gamma : \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S$ resp. unidad $\gamma \in \Gamma(\mathcal{O}_S)^*$ el diagrama

$$\begin{matrix} \hom(\mathcal{O}_S,F_* M) & \cong & \Gamma(F_* M) & = & \Gamma(M) & \cong & \hom(\mathcal{O}_S^{\otimes p},M) \\ \gamma^* \downarrow ~ & & ~ \downarrow \cdot \gamma ~ & & ~ \downarrow \cdot \gamma^p & & ~ \downarrow (\gamma^{\otimes p})^* \\\hom(\mathcal{O}_S,F_* M) & \cong & \Gamma(F_* M) & = & \Gamma(M) & \cong & \hom(\mathcal{O}_S^{\otimes p},M) \end{de la matriz}$$

desplazamientos, lo que puede ser verificada directamente por la definición de $F$.