Si un producto del tensor es libre, ¿qué podemos decir acerca de los factores del tensor?

Question

Aquí es lo que me gustaría probar:

Deje $R$ ser un conmutativa, noetherian anillo, y deje $M$ $N$ ser finitely generadas $R$-módulos. Supongamos $M\otimes_RN\cong R$. De lo anterior se sigue que el $M\cong N\cong R?$

Si es o no es cierto, me pregunto qué condiciones son necesarias para que algo como esto sea cierto, es decir, qué condiciones $\star_R$, $\star_M$, y $\star_N$ hacer la siguiente declaración verdadera:

Deje $R$ ser un anillo de satisfacciones $\star_R$, y deje $M$ derecho $R$-módulo de satisfacciones $\star_M$ y deje $N$ ser una izquierda $R$-módulo de satisfacciones $\star_N$. Si $M\otimes_RN\cong R$,$M\cong N\cong R$.

También, ¿qué acerca de los grados superiores, es decir, lo que se puede decir en el caso de $M\otimes_RN\cong\bigoplus_{i=1}^nR$? Te agradecería pruebas afirmativas y/o contador de ejemplos. Gracias!

Edit: a la luz de Martin y Qiaochu las respuestas, es $\text{Pic}(\text{Spec } R)$ trivial al $R$ es local?

Answer 1

Esto es falso. Como Martin Brandeburgo señala en los comentarios, la palabra clave es Picard grupo. Para cualquier anillo conmutativo $R$, hay un grupo de $\text{Pic}(\text{Spec } R)$ que consta de todos los módulos que son invertible con respecto al producto tensor, y su reclamo tiene el fib el grupo de Picard es trivial (que por lo general no). Si $R$ es un dominio de Dedekind, a continuación, este grupo puede ser identificado con el ideal del grupo de clase de $R$, por lo que presentan un contraejemplo es suficiente para exhibir un anillo de números enteros en un campo de número de la que no se han única factorización prima.

Por ejemplo, tome $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Este no se tenga la única factorización prima desde $(1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}) = 2 \cdot 3$. Deje $M$ ser el ideal $(2, 1 + \sqrt{-5})$ considerado como un $R$-módulo. Dado que este no es un director de ideal, $M$ no es un módulo. Pero como resulta que,

$$(2, 1 + \sqrt{-5}) \otimes (3, 1 - \sqrt{-5}) \cong R.$$

Edit: Si $R$ es local, entonces $\text{Pic}(\text{Spec } R)$ es trivial. Esto se deduce de la observación de que cualquier elemento del grupo de Picard es necesariamente (finitely generado y) proyectiva (véase, por ejemplo, MO) y que cualquier módulo proyectivo sobre un anillo local es libre.