Si tengo un espacio métrico conectado $X$ es cualquier bola alrededor de un punto $x \in X$ también conectado?
Respuestas
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mathguy
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864
Es fácil ver que la respuesta es no. Tomemos la unidad de círculo en el plano, con la métrica heredada de la métrica de Euclides en el plano. Luego elimine el punto "superior" (coordenadas $(0,1)$ ). Luego se desconectará una "bola" (pequeño disco) alrededor de un punto cercano a "la parte superior", restringido al "círculo con la parte superior quitada". Aquí el espacio métrico es el círculo con el punto superior removido .
DiGi
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1925
No. El Fan de Knaster-Kuratowski es un subespacio conectado del plano que se desconecta totalmente cuando se retira un determinado punto, por lo que las bolas abiertas centradas en los otros puntos no pueden conectarse si son lo suficientemente pequeñas para excluir el punto de explosión.
Navneet Singh
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1
sewo
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58
Incluso hay completo camino-conectado espacios métricos que contienen un punto $x$ de tal manera que no pelota alrededor $x$ está conectado, por ejemplo
$$ \{ \langle x,0 \rangle \mid x \ge 1\} \cup \{ \langle 1,y \rangle \mid 0 \le y \le 1 \} \cup \{ \langle x, \tfrac1x \rangle \mid x \ge 1 \} \cup \bigcup_ {n=3}^ \infty \{ \langle x, \tfrac1n \rangle \mid 2 \le x \le n \} $$
No hay una bola de radio finito alrededor $ \langle 2,0 \rangle $ está conectado.
Y aquí hay un boceto de un subespacio completo y conectado (pero no conectado al camino) de $ \mathbb R^2$ donde ninguna bola en absoluto, en ningún punto, está conectado:
Cada uno de los huecos en el Cantor situado a la izquierda se contraerá eventualmente - pero cuanto más pequeño sea el hueco, más a la derecha sucederá esto.
studiosus
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19728
En el lado positivo, si $(X,d)$ es un longitud espacio métrico entonces cada bola abierta $B(a, r) \subset (X,d)$ es un camino conectado. (Cada bola cerrada está conectada también, ya que, en esta situación, cada bola cerrada es un singleton o es el cierre de una bola abierta).
