¿Integral de función impar ' t convergen?

Question

Cuando levanto la mirada %#% $ #%

en Wolfram Alpha, que dice que no converge. Mientras que esto es una suma de dos integrales divergentes, las dos áreas son claramente simétricas, y supongo que la respuesta sería cero. ¿Cómo uno generalmente tratar integrales como este?

Answer 1

Es indefinido, sencillamente, porque puede forzar a tener otro valor. Primero de todo, vamos a decir por $\int_{-1}^1\frac1xdx$ que significa $$ \lim_{s \to 0^-\,\, t \to 0^+}\left(\int_{-1}^s\frac1x dx + \int_t^1 \frac1xdx\right) $$ Ahora, si tenemos la fuerza de $s = -t$, entonces como usted dice, este evalúa a $0$. Sin embargo, si decimos $s = -at$ algunos $a > 0$, entonces tenemos algo completamente diferente (llegamos $\ln a$). Es esta "completamente diferente" que al final hace que el valor es impredecible.

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Nota: Es posible ir en subdividiendo el intervalo de $[-1, 1]$ forma desigual y el uso de la definición de (Riemann) integral para ver que podemos obtener la suma a ser lo que nosotros queramos, y una vez más, esto significa indefinido.

Answer 2

El problema con esta integral es que la función de los enfoques infinito en $0$. Para este tipo de problemas, usted debe tratar a cada lado de la $0$ por separado. Escribimos:

$$ \int_{-1}^1\frac{1}{x}dx=\lim_{un\rightarrow 0^+}\int_a^1\frac{1}{x}dx+\lim_{b\rightarrow 0^-}\int_{-1}^b\frac{1}{x}dx. $$

Observe que utilizamos un límite diferentes para cada uno de los infinitos lado. Uno puede comprobar que cada uno de estos límites divergentes, por ejemplo,

$$ \lim_{un\rightarrow 0^+}\int_a^1\frac{1}{x}dx=\left.\lim_{un\rightarrow 0^+}\ln(x)\right|^1_a=\lim_{un\rightarrow 0^+}(ln(1)-ln(a))=\infty. $$

Del mismo modo, el otro integrante es $$ \lim_{b\rightarrow 0^-}\int_{-1}^b\frac{1}{x}dx=\left.\lim_{b\rightarrow 0^-}\ln(|x|)\right|^b_{-1}=\lim_{b\rightarrow 0^-}(ln(-b)-ln(1))=-\infty. $$

Por lo tanto, la expresión anterior es una forma indeterminada de $\infty-\infty$. En general, si cualquier parte de la integral diverge, decimos que la integral diverge.

En algunos casos, podemos tomar lo que se llama el "Valor del capital", que combina los dos límites como $$ \lim_{un\rightarrow 0^+}\left[\int_{-1}^{-a}\frac{1}{x}dx+\int_a^1\frac{1}{x}\right]=\lim_{un\rightarrow 0^+}\left[(\ln(a)-\ln(1))+(\ln(1)-\ln(a))\right]=0. $$

Aunque este límite existe, sólo el principal valor existe (porque el principal valor cancela la igualdad de infinitos), la integral original en sí no existe.

Answer 3

Aunque los dos lados de la mirada integral simétrica, técnicamente siempre que tengas una integral indefinida (por ejemplo, la integral de una función no definida en un punto), se rompe la integral en pedazos que evitar el "problema" punto(s) y, a continuación, evaluar el límite de cada pieza por separado, como se aborda el problema de los puntos. Un tanto artificial para decir que su límite no debería de existir es que usted debería ser capaz de decir que su integral es$\lim_{t \to 0} \int_{at}^1 1/x dx + \int_{-1}^{-bt} 1/x dx$, pero si usted hace esto, entonces usted sólo recibirá $0$ si $a = b$. Con derivados es quizás la más clara de cómo pueden surgir problemas: Si se define la derivada como $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$, entonces usted va a conseguir que la derivada de $f(x) = |x|$ $x = 0$ es 0, aunque claramente la derivada no está definida allí.

Answer 4

La integral es indefinido. Sin embargo, considerar la siguiente fórmula:

$$lim_{\epsilon \to 0} \frac {x}{x^2+ \epsilon^2} = \frac {1}{x}$$

Tratemos de que esta representación de $1/x$ en su integral. Ahora realizar la integración antes de tomar el límite de$\epsilon$$0$. [Este cambio de orden es de suponer que no es estrictamente permitidos, pero obviamente tiene mucho sentido hacerlo de todos modos.] Tenga en cuenta que el integrando es ahora la divergencia, por lo tanto, la integración es totalmente sencillo. La anti-derivada se encuentra:

$$(1/2) * log (x^2 + \epsilon^2)$$

Esta función es simétrica, por lo tanto la cancelación que buscamos, de hecho, se lleva a cabo y la integral de $-1$ $+1$es igual a cero. Por supuesto, depende del contexto de los problemas matemáticos en la mano si un método como este es justificada.