No puedo resolver lo siguiente:
Hallar el número de soluciones enteras positivas que satisfacen $x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=1,000,000$ .
Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
SUGERENCIA: Empieza con la factorización en primos del lado derecho: $1,000,000=10^6=2^6\cdot5^6$ . ¿Cuántas maneras hay de dividir el $12$ factores primos de $1,000,000$ en $x_1,x_2,x_3$ y $x_4$ ? Recuerde que es posible tener $x_k=1$ con ninguno de los factores.
Sugiero escribir $x_k=2^{a_k}\cdot5^{b_k}$ de modo que
$$\begin{align*} x_1x_2x_3x_4&=\left(2^{a_1}\cdot5^{b_1}\right)\left(2^{a_2}\cdot5^{b_2}\right)\left(2^{a_3}\cdot5^{b_3}\right)\left(2^{a_4}\cdot5^{b_4}\right)\\ &=2^{a_1+a_2+a_3+a_4}\cdot5^{b_1+b_2+b_3+b_4}\;; \end{align*}$$
¿De cuántas maneras se puede elegir el $a_k$ y $b_k$ para que $a_1+a_2+a_3+a_4=6$ y $b_1+b_2+b_3+b_4=6$ ? (Es probable que haya visto problemas como estos antes, pero si no, eche un vistazo a este artículo .
