¿Cuál es la interpretación geométrica del tensor de Ricci?

Question

En geometría diferencial y la relatividad general el espacio se dice que es plano si el % del tensor de Riemann $R=0$. Si el tensor de Ricci en el colector $M$ es cero, no significa que el colector de sí mismo es plano. Entonces cuál es el significado geométrico del tensor de Ricci , ya que se han definido con el tensor de Riemann como

$$\mathrm{Ric}_{ij}=\sum_a R^a_{iaj}?$$

Answer 1

El local de la estructura geométrica de un pseudo-Riemann manifiold $M$ es completamente descrita por el tensor de Riemann $R_{abcd}$. La estructura local de un colector está afectado por dos posibles fuentes

1. Fuentes de materia en $M$: La distribución de materia en el colector es descrito por el tensor de tensiones $T_{ab}$. Por las ecuaciones de Einstein, esto puede estar relacionado con el tensor de Ricci (que es la traza del tensor de Riemann = $R_{ab} = R^c{}_{acb}$. $$ R_{ab} = 8 \pi G \left( T_{ab} + \frac{g_{ab} T}{2-d} \right) $$

2. Las ondas gravitacionales en $M$. Esto es descrito por el tensor de Weyl $C_{abcd}$ que es la traza de la parte libre del tensor de Riemann.

Por lo tanto, la estructura local de $M$ es completamente descrito por dos tensores

1. $R_{ab}$: Esto está relacionado con la distribución de materia. Si se incluye una constante cosmológica, este tensor se compone de la información de la materia y la curvatura debido a la constante cosmológica.

2. $C_{abcd}$: Esto describe las ondas gravitacionales en $M$. Un estudio de tensor de Weyl es necesaria cuando se describe la gravedad cuántica, teorías.

Answer 2

Siempre me ha gustado la interpretación que se obtiene de la Raychaudhuri ecuación. Se muestra que el tensor de Ricci tiende a causar geodesics centrarse juntos. Si usted comienza con una familia de geodesics con vector tangente $u^a$, se puede definir la expansión $\theta\equiv \nabla_a u^a$ que mide la velocidad a la que geodesics se están expandiendo o convergentes juntos. Como usted se mueve a lo largo de una curva integral de $u^a$, el Raychaudhuri ecuación indica que la expansión de los cambios como una función de la curva del parámetro, $\lambda$: $$ \frac{d}{d\lambda}\theta = -\frac13\theta^2-\sigma_{ab}\sigma^{ab}+\omega_{ab}\omega^{ab}-R_{ab}u^au^b.$$ $\sigma_{ab}$ se llama el corte y está relacionado con la tendencia de una sección transversal de las curvas para distorsionar hacia y elipsoide, y $\omega_{ab}$ es de la vorticidad y describe cómo las curvas de giro alrededor de la otra. El tensor de Ricci aparece en esta ecuación con un signo de menos, así que cuando $R_{ab}u^au^b$ es positivo, tiende a disminuir la expansión, que describe el enfoque de la geodesics.