¿Se pueden representar todos matemáticas en geometría?

Question

Soy consciente de que muchos problemas de matemáticas puede ser expresado y entendido en la geometría, por ejemplo, los números complejos pueden ser expresadas en 2 dimensiones, que puede ser útil para algunos problemas. Las matemáticas se inició en la geometría.

Mi pregunta es, ¿puede asignar toda la matemática de la geometría y de resolver todos los problemas mediante la geometría y razonamiento geométrico? En segundo lugar, es que vale la pena? En tercer lugar, ¿por qué no?

Soy consciente de que la gente no hace eso, el uso de conjuntos, o que utilizan otros sistemas matemáticos definidos por las reglas del sistema.

Sólo tengo básica 1er año de universidad, en el entendimiento de las matemáticas. Mi pregunta viene de un par de problemas que yo he tenido durante el tiempo que he estado un programador y he encontrado muchas soluciones mediante el uso de la geometría, por ejemplo, para la representación de fechas y horas, si son representados con fechas en el eje x y los tiempos en la y, es más fácil encontrar los elementos contenidos utilizando la geometría. Muchos otros problemas parecía mapa de la geometría.

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Una razón por la que hago esta pregunta es que yo tenía una creativa a pesar de que sería bueno es que hubo una especie de navegador web que podría examinar estructuras geométricas y hacer un razonamiento en geometría y si todos los datos se han representado en este navegador como la geometría, gráficas, tablas, líneas, círculos, etc. Como un "humano" me resulta fácil pensar en espacial de las relaciones, por ejemplo, cuando yo era la programación de 200.000 líneas de código en un equipo, era más fácil imaginar espacial que en cualquier otra forma. Me gustaría imagen de la forma del texto y las conexiones lógicas.

También existe el libro de ciencia ficción Neuromancer que visualizaron la web como una red que se integra con el pesar de los procesos de la persona, que no era "páginas web", pero la idea encaja bien con una geometría basada en web.

Como ya he dicho que es una idea creativa, no en matemáticas idea, pero uno de motivar es que si yo quería hacer un "navegador" me pregunto si las matemáticas podrían caber dentro de él de alguna manera.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que algunos de los problemas en matemáticas no tienen ningún reasonnable interpretación en términos geométricos.

Si tuviera que dar ejemplos : cuestiones delicadas de la regularidad en el análisis, la existencia y unicidad de soluciones de algunas ecuaciones en derivadas parciales, y realmente álgebra abstracta (no hay punto de entrar en detalles de que está en su primer año).

Que dijo creo que un montón de "básicos" de las ideas y de los problemas puede ser pensado en términos geométricos (es algo parecido a un milagro para algunos de los problemas más delicados). Esta es una buena cosa, ya que, como Dimitar dijo que la mayoría de las personas tienden a tener intuición geométrica.

Ejemplos de tales cosas : la evolución de cualquier sistema a través del tiempo puede ser visto como un camino en algún espacio de configuración (se trata de una profunda idea que conduce a una rama de las matemáticas llamada sistemas dinámicos). Para los "milagros" que he mencionado, algunos problemas abstractos en forma de anillo en teoría están profundamente vinculados a los ceros de los polinomios, que son objetos geométricos. La resolución de la famosa conjetura de Fermat sobre el entero de soluciones de $x^n + y^n = z^n$ también implica geométrica de las herramientas.

Entonces, para resumir mis puntos :

1. hay un montón de profundidad y a veces inesperadas conexiones a la geometría
2. sin embargo, no funciona para todo
3. pro : por lo general se da un punto de vista intuitivo
4. contras : podría ser más difícil para que funcione correctamente con ese enfoque (Dimitar menciona el algebrization de la geometría : la razón para esto es que es mucho más fácil trabajar con ecuaciones que con objetos geométricos, pero no siempre ver a dónde va). Esta es la razón por la que los matemáticos encanta cuando se tienen múltiples puntos de vista sobre el mismo objeto matemático.

Answer 2

Esta pregunta me recuerda a un profesor que tuve en la universidad (Mi especialidad era la Matemática Aplicada) hace 3 años.

Explicó que la mayor parte de los matemáticos del trabajo de la comunidad en los últimos 200 años entró en algebrazing todo lo que pudieron tener en sus manos. Eso significa que todo se explica por las ecuaciones. La cúspide de este proceso es la construcción de la computadora - una máquina que funciona con el álgebra exclusivamente, y hace bien y rápido.

Sin embargo, nuestro cerebro (y los animales cerebro no funciona de esta manera. Funciona con 'geométrica' resúmenes, formas, conjuntos, etc. Por ejemplo, nuestro cerebro podría mucho más fácil entender las representaciones gráficas de datos en lugar de su representación numérica.

Según mi profesor de la geometrización de las matemáticas es un proceso, actualmente en curso, que nos daría una comprensión de cómo nuestro cerebro funciona y un día el pináculo de la creación de una verdadera A. I.

@Nguyễn Duy Khánh Lo siento, no podía comentar respuestas aún :(

Así, la tradicional geometría no ir por encima de 3D y es principalmente en 2D. Funciona con los axiomas y teoremas que no son numéricos, sino analítica. Si se amplía la geometría de dimensiones superiores como infinity podría tener un conjunto de axiomas y teoremas que son aplicables a la gama más amplia de problemas.

La forma en que es posible (o no), no me podía imaginar.

Answer 3

se puede trazar el mapa de todas las matemáticas de la geometría y de resolver todos los problemas mediante la geometría y razonamiento geométrico? En segundo lugar, es que vale la pena? En tercer lugar, ¿por qué no?

Voy a responder a sus preguntas desde el último al primero :

En tercer lugar, ¿por qué no?

Porque de la respuesta a la siguiente :

En segundo lugar, es que vale la pena?

No, no está, no todas las preguntas tienen una interpretación geométrica simple, por geométricas, me refiero a una simple línea de + círculo + ángulo ser fácilmente visto como la respuesta por ejemplo, transcendentality de $\pi, e $ etc.

se puede trazar el mapa de todas las matemáticas de la geometría y de resolver todos los problemas mediante la geometría y razonamiento geométrico?

No, buscar conductividad de trisecting un ángulo, la duplicación/halfing un cuve, squareing un círculo etc. Básicamente Galoise teoría. Donde la geometría no puede responder a problemas geométricos ¿cómo puede responder a todos los problemas matemáticos?

Answer 4

Mi pregunta es, ¿puede asignar toda la matemática de la geometría y de resolver todos los problemas mediante la geometría y razonamiento geométrico?

En cierto sentido, sí.

Usted puede expresar todas las matemáticas el uso de algún tipo de notación formal. Usted puede convertir los símbolos en los números, y la manipulación de los símbolos, mientras que el razonamiento en las operaciones elementales de cálculo, como Gödel hizo (al menos en teoría). Puede activar operaciones algebraicas elementales en construcciones geométricas, lo cual se atribuye a von Staudt. Así, por ejemplo, usted podría decir que en un momento determinado en una cierta línea (o más bien su posición en relación a algunos otros puntos que fijar una base) simboliza una cierta proposición. Se podría decir que es una prueba de que es una construcción donde, a partir de un conjunto dado de puntos (la base y los axiomas) de construir nuevos puntos de utilizar un determinado conjunto de construcciones (que codifican válida la deducción de los pasos), para acabar en el punto que indica la conclusión.

En segundo lugar, es que vale la pena? En tercer lugar, ¿por qué no?

Las construcciones tendría muy poco visual en relación a la materia de que están hablando. Giro de conceptos por primera vez en la notación, que en números y que en geometría no es accesible a la mente. De modo que el principal beneficio es el de mostrar los diferentes sistemas que ser equivalente en su expresiva poderes. Gödel podría hacer algo muy importante de las deducciones basadas en el hecho de que los elementales de la aritmética es esencialmente tan poderoso como el razonamiento lógico. Y la geometría es tan poderoso como el que la aritmética. Así que hay algunos puntos que representan a los verdaderos declaraciones, pero no permite una construcción a prueba. Teóricamente interesante, pero no es algo que se iba a presentar de manera explícita en un navegador.

Answer 5

¿el punto principal es '' la geometría ''? No creo que podemos utilizar geometría única para resolver problema de toda teoría del número, aunque a veces, tienen conexión hermosa y sorprendente.