De Halmos, teoría determinada ingenua explica el "extensionalidad" en "axioma de extensionalidad" como:
Cada conjunto está determinado por su extensión.
y eso es todo. ¿Cuál es la extensión de un conjunto, entonces? Intuitivamente me parece que una (o tal vez "el", quién sabe?) extensión de $X$ es un conjunto que contiene todos elementos de %#% de #% y posiblemente algunos otros también. ¿ Equivoco? Si no, podrias por favor explicar qué una extensión de un conjunto es?
El plazo de extensión de la antigua lógico-filosófico de la tradición.
Ver la Lógica de Port Royal y :
Yo llame a la extensión de una idea de los sujetos a los que esta idea se aplica.
Así, a partir de un moderno conjunto teórico perspectivas, la extensión de un conjunto $X$ es la "colección" de todos aquellos objetos que son elementos de la $X$, es decir, $X$ sí.
Si es así, la noción se basa en "extensionality", es decir, todo lo que importa en la definición de la "tarjeta de identidad" de un conjunto son sus miembros.
Conclusión, dos conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos son "el mismo".
Esto no tiene nada que así, con la idea de "extender" un conjunto (es decir, lo que es más grande). Por el contrario, esto se refiere a en qué medida el conjunto se extiende o de su "ámbito de aplicación" - en otras palabras: sus elementos. En otras palabras: Si los dos conjuntos de $A$ $B$ tienen exactamente los mismos elementos, entonces, de hecho son el mismo conjunto.
La extensión de un concepto es la totalidad de todas las cosas que caen bajo el concepto.
El instension de un concepto en el otro lado es la colección de todas las propiedades que todos los ejemplos del concepto de hecho de compartir.
Diferentes intensional definiciones pueden ser extensionally equivalente, por ejemplo, "la estrella de la mañana", "la estrella de la noche" bothrefer para el mismo objeto, el planeta Venus. O "bípedo sin plumas de los seres" y "seres racionales" tanto descibe el concepto de los seres humanos (al menos habitual en el universo de discurso; por ejemplo, un griego mythologist requeriría que se añade el adjetivo "mortal" para ambas descripciones).
Deje $M$ denotar un conjunto equipado con una relación binaria $R$. Luego se le da $p \in M$, con la correspondiente predicado $$E_p : M \rightarrow \{\mathrm{true},\mathrm{false}\}$$
se define de la siguiente manera.
$$E_p(x) \iff R(x,p)$$
Llamamos a $E_p$ la extensión de $p$. El Axioma de Extensionality dice que todos los $p \in M$ está determinado por su extensión $E_p$. Más precisamente, $M$ satisface el axioma de extensionality iff para todos los $p,q \in M,$ tenemos que si $E_p = E_q$,$p=q$.
El pensamiento de los elementos de $M$ como "conjuntos" en algún sentido o en otro y $R$ como denota la pertenencia, la definición de $E_p$ dice que $E_p(x)$ es cierto iff $x$ es un elemento de $p$, y false de lo contrario. Por tanto, en este idioma, el Axioma de Extensionality dice que un conjunto es determinado por sus elementos.
Por supuesto, $M$ no tiene que ser un modelo de ZFC para que esto tenga sentido, y los elementos de $M$ no tiene que ser establecido. El pensamiento de $(M,R)$ como un dígrafo, extensionality dice que si $p$ $q$ tienen exactamente el mismo vértices inmediatamente debajo de ellos, entonces son iguales.
No sé qué es exactamente Halmos que ello significa. Cómo fue descrito en mi clase de teoría de conjuntos: Formalmente, el axioma de extensionality dice que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos miembros, es decir, $$x=y \iff \forall z (z \in x \iff z \in y)$$
Su llamado extensionality como opuesto a 'intensionality'. Extensionally significa que cada detalle de cómo las tuercas y tornillos están hechos, intensionality significa sólo tener las mismas cualidades que definen. Por ejemplo, según extensionality, la estrella de la mañana y la estrella de la noche son lo mismo...son los nombres de Venus. Intensionally, son diferentes, éstos se refieren a diferentes aspectos, etc.
El axioma de extensionalidad en Fije la teoría, señala que un conjunto está totalmente determinado por sus elementos, o, en otras palabras, que dos conjuntos son iguales (es decir, el mismo sistema) si contienen los mismos elementos.
En este sentido, la "extensión" de un conjunto es simplemente su contenido, que es todo que lo necesario para identificarla.
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