Demostrar que si $\sigma(n)=2n+1$ entonces $n$ es un cuadrado perfecto impar.

Question

Demostrar que si $\sigma(n)=2n+1$ entonces $n$ es un cuadrado perfecto impar.

(Aquí, $\sigma(n)$ es la suma de los divisores positivos de $n$ incluyendo 1 y $n$ sí mismo).

Como sé, este $n$ es un número cuasi perfecto, y acabo de demostrar que $n$ es un cuadrado perfecto o $\frac{n}{2}$ es un cuadrado perfecto.

Answer 1

Ya había visto este resultado, pero no la prueba, así que busqué El argumento original de Cattaneo . Está en italiano. Lo que sigue es su prueba con algunos detalles completados.

En primer lugar, si $\sigma(n) = 2n+1$ entonces $\sigma(n)$ es impar.

Si $n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}$ es la factorización primaria de $n$ entonces sabemos que $$\sigma(n) = \prod_{i=1}^r (1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{a_i}).$$ Desde $\sigma(n)$ es impar, sin embargo, cada factor $1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{a_i}$ también debe ser impar.

Para cada factor primo impar $p_i$ entonces, debe haber un número impar de términos en la suma $1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{a_i}$ . Así, $a_i$ debe ser uniforme. Esto significa que si $p_i$ es impar, $p_i^{a_i}$ es un cuadrado perfecto impar. El producto de cuadrados perfectos Impares es otro cuadrado perfecto impar, y por tanto $n = 2^s m^2$ , donde $m$ es impar.

Ahora tenemos $\sigma(n) = (2^{s+1}-1)M$ , donde $M = \prod_{p_i \text{ odd}} (1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{a_i})$ . Desde $\sigma(n) = 2n+1$ , \begin{align*} &(2^{s+1}-1)M = 2^{s+1}m^2 + 1 \\ \implies &(2^{s+1}-1)(M - m^2)-1 = m^2. \end{align*} Esto significa que $-1$ es un residuo cuadrático para cada factor primo de $2^{s+1}-1$ . A consecuencia del teorema de reciprocidad cuadrática Sin embargo, es que $-1$ es un residuo cuadrático de un primo impar $p$ si y sólo si $p \equiv 1 \bmod 4$ . Así, todos los factores primos de $2^{s+1}-1$ son congruentes con $1 \bmod 4$ . El producto de números congruentes con $1 \bmod 4$ sigue siendo congruente con $1 \bmod 4$ Así que $2^{s+1}-1 \equiv 1 \bmod 4$ . Sin embargo, si $s > 0$ entonces $2^{s+1}-1 \equiv 3 \bmod 4$ . Así, $s$ debe ser $0$ . Por lo tanto, $n = m^2$ , donde $m$ es impar.