La palabra clave es diseño de bloques (y diseños de bloques resolubles).
Actualización : El número máximo de rondas oscila entre $9$ y $11$ .
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La persona 1 se sienta con $3$ personas distintas en cada ronda, por lo que podemos tener como máximo $\lfloor (36-1)/3 \rfloor=11$ rondas. (Del mismo modo, podríamos argumentar que hay $\binom{36}{2}$ se utilizan pares y pares $9\binom{4}{2}$ a la vez, dando $\leq 11$ rondas posibles).
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$9$ es posible, y puede construirse del siguiente modo:
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Primer paso : Tomemos tres cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden $9$ (que existen; de hecho, una construcción de campo finito da $8$ - $\mathrm{MOLS}(9)$ ( ref. )). Llame a estos $L_1,L_2,L_3$ y asumir $L_1$ utiliza el símbolo $\{1,\ldots,9\}$ , $L_2$ utiliza el símbolo $\{10,\ldots,18\}$ y $L_3$ utiliza el símbolo $\{19,\ldots,27\}$ .
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Paso 2 : Tomar la "unión" de estas matrices para formar una $9 \times 9$ matriz en la que cada celda $(i,j)$ contiene $\{L_1[i,j],L_2[i,j],L_3[i,j]\}$ .
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Paso 3 : Añadir símbolo $28$ a los conjuntos de la primera columna, $29$ a los conjuntos de la segunda columna, y así sucesivamente, hasta $36$ en la última columna.
Podemos comprobar que no hay pares que se repitan dos veces caso por caso: si $x$ y $y$ (con $x \neq y$ ) se da en dos conjuntos, entonces (a) $(x,y)$ se produce en algunos $(L_i,L_j)$ dos veces, contradiciendo la propiedad ortogonal, o (b) ambos $y$ s aparecen en la misma columna, lo que contradice que el $L_i$ s son cuadrados latinos, o contradictorios $x \neq y$ .
Como ejemplo concreto:
[[28,1,10,19],[29,4,13,22],[30,7,16,25],[31,2,11,20],[32,5,14,23],[33,6,15,24],[34,3,12,21],[35,9,18,27],[36,8,17,26]]
[[28,4,16,23],[29,7,10,24],[30,1,13,20],[31,5,15,27],[32,6,11,26],[33,2,14,21],[34,9,17,22],[35,8,12,25],[36,3,18,19]]
[[28,7,13,26],[29,1,16,21],[30,4,10,27],[31,6,14,25],[32,2,15,19],[33,5,11,22],[34,8,18,24],[35,3,17,20],[36,9,12,23]]
[[28,2,12,22],[29,5,18,25],[30,6,17,19],[31,3,10,23],[32,9,13,24],[33,8,16,20],[34,1,11,27],[35,4,14,26],[36,7,15,21]]
[[28,5,17,24],[29,6,12,20],[30,2,18,23],[31,9,16,26],[32,8,10,21],[33,3,13,27],[34,4,15,25],[35,7,11,19],[36,1,14,22]]
[[28,6,18,21],[29,2,17,27],[30,5,12,26],[31,8,13,19],[32,3,16,22],[33,9,10,25],[34,7,14,20],[35,1,15,23],[36,4,11,24]]
[[28,3,11,25],[29,9,14,19],[30,8,15,22],[31,1,12,24],[32,4,18,20],[33,7,17,23],[34,2,10,26],[35,5,13,21],[36,6,16,27]]
[[28,9,15,20],[29,8,11,23],[30,3,14,24],[31,4,17,21],[32,7,12,27],[33,1,18,26],[34,5,16,19],[35,6,10,22],[36,2,13,25]]
[[28,8,14,27],[29,3,15,26],[30,9,11,21],[31,7,18,22],[32,1,17,25],[33,4,12,19],[34,6,13,23],[35,2,16,24],[36,5,10,20]]
No me queda claro si sería posible hacer más rondas.
Escribí un código que encontraba un bajillion al azar $8$ -ejemplos redondos, por ejemplo
[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[13,14,15,16],[17,18,19,20],[21,22,23,24],[25,26,27,28],[29,30,31,32],[33,34,35,36]]
[[1,7,20,32],[2,5,17,29],[3,8,9,15],[4,18,26,34],[6,12,16,28],[10,22,30,35],[11,24,31,33],[13,19,21,27],[14,23,25,36]]
[[1,8,23,29],[2,10,14,33],[3,6,21,26],[4,12,13,22],[5,20,28,31],[7,11,27,35],[9,16,18,25],[15,19,32,34],[17,24,30,36]]
[[1,11,15,28],[2,7,18,30],[3,16,22,29],[4,9,27,33],[5,19,26,36],[6,10,20,25],[8,14,24,34],[12,17,21,31],[13,23,32,35]]
[[1,12,24,27],[2,8,19,31],[3,11,32,36],[4,16,20,35],[5,9,14,22],[6,15,30,33],[7,17,23,26],[10,13,18,28],[21,25,29,34]]
[[1,13,26,31],[2,16,23,34],[3,5,25,35],[4,10,15,36],[6,18,22,27],[7,12,19,33],[8,17,28,32],[9,20,24,29],[11,14,21,30]]
[[1,16,21,36],[2,11,22,26],[3,10,31,34],[4,19,23,28],[5,18,32,33],[6,9,13,17],[7,15,24,25],[8,20,27,30],[12,14,29,35]]
[[1,17,22,25],[2,15,21,35],[3,13,20,33],[4,7,14,31],[5,10,23,27],[6,11,19,29],[8,12,18,36],[9,28,30,34],[16,24,26,32]]
Ninguno de estos $8$ -los ejemplos redondos eran ampliables.
Los ejemplos aleatorios hacían que pareciera que encontrar un $9$ -El ejemplo redondo sería difícil, ya que quedaban muy pocas combinaciones posibles de tablas, por no hablar de encontrar $9$ combinaciones simultáneas de mesas que incluyan a todas las personas. En el ejemplo anterior, por ejemplo, no se puede formar ninguna tabla válida con la persona $6$ .
