Demostrar que $3(a^3+b^3+c^3) > (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Question

Deje $a,b,c$ ser positivo, no es igual. Demostrar que $3(a^3+b^3+c^3) > (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$.

Sé que la prueba restando el lado izquierdo por el lado derecho y, a continuación, hacer algún arreglo.

Pero, ¿no hay ninguna desigualdad que puede ser utilizado en $(1+1+1)(a^3+b^3+c^3) >(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$, o una sencilla prueba?

Answer 1

Usted puede expresar la desigualdad como

$$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3} > \frac{a+b+c}{3} \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

o

$$ [m_3(a,b,c)]^3 > [m_1(a,b,c)] \; [m_2(a,b,c)]^2 $$

donde $m_p$ es la generalizada poder (Hölder) $p$-media. La aplicación de la (importante) de la propiedad que $m_p > m_q$ siempre $p>q$ (y los valores no son todos iguales), ya está hecho.

Answer 2

Hay una manera bastante general para probar desigualdades, como las de este uso de reordenamiento, pero sólo por diversión, déjeme mostrarle cómo usted puede probar una gran clase de desigualdades como este por el uso repetido de AM-GM. Primero restar $a^3, b^3, c^3$ de los RHS, a continuación, simétricamente suma de las desigualdades

$$a^3 + a^3 + b^3 \ge 3 a^2 b.$$

Esencialmente estoy usando ponderado AM-GM con coeficientes racionales. He aquí algunos ejercicios que pueden ser resueltos utilizando esta idea.

Ejercicio 1. Probar que si $n > 1$ es un entero positivo y $a > 0$, luego

$$\frac{1 + a + ... + a^n}{a + a^2 + ... + a^{n-1}} \ge \frac{n+1}{n-1}.$$

Ejercicio 2. Deje $a, b, c \ge 0$. Demostrar que

$$a^5 + b^5 + c^5 \ge 5abc(b^2 - ac).$$

(Ponderado AM-GM no es necesariamente la mejor manera de resolver cualquiera de estos problemas; solo que el argumento que se me ocurrió con la primera.)

Answer 3

El resultado es también una consecuencia de la Chebyshev (sum) de la Desigualdad. Este es un resultado bastante útil, no al menos para el concurso de problemas! Se puede demostrar mediante el Reordenamiento de la Desigualdad, que también es útil para saber. Para completar, nos indicar el resultado, aunque sólo la mitad de lo que se necesita aquí.

Teorema: (Desigualdad de Chebyshev) Supongamos que $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$$b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_n$.

Deje $m=a_1b_n + a_2b_{n-1} +\cdots + a_nb_1$$M=a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n$. Entonces $$nm \le (a_1+a_2+\cdots+a_n)(b_1+b_2+\cdots +b_n) \le nM$$ con la igualdad sólo sucede cuando todos los $a_i$ son iguales ni todas las $b_i$ son iguales.

Para aplicar el resultado a nuestro problema, podemos, sin pérdida de generalidad supongamos que $a \le b \le c$. Vamos $a_1=a$, $a_2=b$, $a_3=c$, $b_1=a^2$, $b_2=b^2$, y $b_3=c^2$.

A continuación, las condiciones de la Desigualdad de Chebyshev se cumplen, y $M=a^3+b^3+c^3$. Podemos leer a continuación nuestra desigualdad de la Desigualdad de Chebyshev.

Tenga en cuenta que la Desigualdad de Chebyshev produce una inmediata generalización de la $3$ variable de desigualdad de la pregunta a $n$ variables.

Answer 4

Como es a menudo el caso, podemos utilizar de Cauchy-Schwarz.

Puesto que el $L^3$ norma es mayor que el $L^4$ norma, tenemos que $$\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)^{\frac{1}{3}}\geq\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)^{\frac{1}{4}}$$ with equality if and only if $a=b=c.$ Using Cauchy Schwarz, we have that $$\sqrt{3\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}\geq\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$$ and $$\sqrt{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}\geq\left(a+b+c\right).$$ Multiplying these two inequalities, we get $$3\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)^{\frac{3}{4}}\geq\left(a+b+c\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right),$$ lo que implica el resultado.