¿Cómo justificar la existencia de una función, en general?

Question

Tal vez sea demasiado ingenuo al hacer esta pregunta, pero creo que es importante y me gustaría saber su respuesta. Por ejemplo, siempre veo que la gente escribe algo como "deja $f:R \times R \longrightarrow R$ de tal manera que $f(x,y)=x^2y+1$ ", o por ejemplo "Que $g:A \longrightarrow A \times \mathbb {N}$ de tal manera que para cada función $f: \mathbb {N} \longrightarrow A$ tenemos $g(f(n))=(f(n),n)$ )". Nunca justifican la existencia, sino que asumen la función de existir. Así que mi pregunta es ¿por qué? ¿Cómo justifican la existencia?

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Para abordarla adecuadamente hay que ser muy preciso sobre lo que es una función y lo que significa haber definido/construido una. Así, en la era moderna definimos una función como un triple $(A,f,B)$ donde $A,B$ son conjuntos y $f\subseteq A\times B$ es una relación de $A$ a $B$ . Escribimos $f(x)=y$ como abreviatura de $(x,y)\in f$ . La condición que debe cumplir la relación para ser llamada función es para todo $x,y,z$ : $f(x)=y$ junto con $f(x)=z$ implica $y=z$ .

Así que ahora las cosas se reducen a conjuntos. Entonces, ¿cuándo decimos que hemos definido o construido un conjunto válido? Bueno, para responder a eso tenemos que ser muy precisos sobre lo que son los conjuntos. Eso es complicado. Hay diferentes axiomatizaciones y bastantes resultados intrincados sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos. Así que, aquí está un poco sin ponerse técnico. Definir lo que son los conjuntos es bastante desesperante, ya que ¿en términos de qué se definen los conjuntos? ¿Qué es más primitivo que un conjunto? (si tienes una buena respuesta, por favor, escribe un artículo sobre ello). En su lugar, abandonamos la idea de definir qué son los conjuntos y adoptamos el enfoque axiomático. No decimos lo que son los conjuntos, sino lo que podemos hacer con ellos.

Bueno, eso es suficiente, ya que queremos saber que ciertos conjuntos existen, así que si sabemos lo que podemos hacer con los conjuntos, tal vez podamos demostrar que existen siguiendo las reglas que nos dicen cómo construir conjuntos. Esto resulta funcionar bastante bien, tras un poco de trabajo de introducción de todo lo necesario.

Ahora bien, hay una regla de construcción de conjuntos que te dice que si tienes una fórmula, como $x^2y+1$ entonces se puede construir un conjunto a partir de él que consiste en todos los pares $(x,y)$ de números reales que satisfacen esta fórmula. Así, tenemos un candidato para la función $(\mathbb R,f,\mathbb R)$ sólo tenemos que comprobar que este conjunto $f$ efectivamente satisface la condición de ser una función (lo que hace para la fórmula que mencionas). También hay reglas para construir conjuntos que permiten dar definiciones recursivas de las funciones.

Así pues, las formas "estándar" de construir funciones están justificadas por la teoría axiomática de conjuntos. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no se conoce ningún modelo de la teoría de conjuntos, y que si alguna vez se encuentra uno, implicará inmediatamente que la teoría es inconsistente. Por tanto, los fundamentos son complicados. No descartamos que las matemáticas estén libres de contradicciones, y nunca lo haremos. Pero, parece que está bien.

Answer 2

Para su primer ejemplo, dicha función existe porque nos ha dicho explícitamente qué $f(x,y)$ debe ser para cada $x$ y $y$ . Por otro lado, $g$ puede o no existir. No está inmediatamente claro qué hacer $g(x)$ para un determinado $x$ .

Answer 3

Tu primer ejemplo es la simple composición de varias funciones de valor real. Para simplificar, vamos a refundirlo como $f(x)=xxy+1$ . No es más que la composición de funciones conocidas: la multiplicación y la suma de números reales. La multiplicación convierte cada par de números reales en un número real. Lo mismo ocurre con la suma. (Las cosas se complican más con la división y la exponenciación.) Así, es fácil comprobar que para cada par de números reales $x$ y $y$ , $xxy+1$ te da un número real, y que $f$ es efectivamente una función.

Sin embargo, no todas las funciones se definen en términos de composiciones simples de funciones conocidas. Si se parte de, por ejemplo, los Axiomas de Peano, y se quiere demostrar la existencia de una función de adición sobre los números naturales, habría que construir un subconjunto adecuado $A$ del conjunto de los triples ordenados de los números naturales (¡difícil!) y demostrarlo:

$\forall a,b\in N (\exists c\in N((a,b,c)\in A))$

$\forall a,b,c_1, c_2\in N((a,b,c_1)\in A\land(a,b,c_2)\in A \rightarrow c_1=c_2)$

En ese caso, se podría utilizar la notación de la función $A: N^2 \rightarrow N$ o (mi preferencia) $\forall a,b\in N (A(a,b)\in N)$ . Entonces, por supuesto, habría que demostrar que la función $A$ tiene todas las propiedades necesarias de una función de adición: asociatividad, conmutatividad, etc.

Por cierto, ese subconjunto $A$ es tal que:

$\forall a,b,c ((a,b,c)\in A \leftrightarrow (a,b,c)\in N^3$

$\land \forall d\in P(N^3) (\forall e\in N ((e,1,s(e)\in d))$

$\land \forall e,f,g\in N ((e,f,g)\in d \rightarrow (e,s(f),s(g))\in d)$

$ \rightarrow (a,b,c)\in d)))$

donde $1$ es el primer número natural y $s$ es la función sucesora habitual.

De esta construcción, se puede derivar:

$\forall a\in N (A(a,1)=s(a)$

$\forall a,b\in N (A(a,s(b))=s(A(a,b)))$

Answer 4

En general basta con demostrar que para su función, cada $x$ en el dominio corresponde exactamente a una $f(x)$ en el codominio. Asumir la existencia de una función equivale, por tanto, a asumir esta propiedad, que es bastante trivial de demostrar en la mayoría de los casos (pero no en todos; Cantor-Bernstein es un ejemplo notable en el que la existencia de una función con ciertas propiedades es no -obvio).