Si definimos $\sin x$ como series, ¿cómo podemos obtener el significado geométrico de $\sin x$ ?

Question

En el libro de texto de Terry Tao Análisis define $\sin x$ como el siguiente:

1. Definir los números racionales
2. Definir las secuencias de Cauchy de los números racionales, y la equivalencia de las secuencias de Cauchy
3. Definir los reales como el espacio de las secuencias de Cauchy de los racionales módulo de equivalencia
4. Definir los límites (y otras operaciones básicas) en los reales
5. Cubre una gran cantidad de material básico, incluyendo: números complejos, series de potencias, diferenciación y la exponencial compleja
6. Eventualmente (¡Capítulo 15!) definiremos las funciones trigonométricas a través de la exponencial compleja. Luego muestra la equivalencia con otras definiciones.

Mi pregunta es cómo podemos obtener la interpretación geométrica de $\sin x$ , es decir, la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa.

Answer 1

Sabiendo que $(\cos x)'=-\sin x$ y que $(\sin x)'=\cos x$ (que supongo que Tao demuestra) permite demostrar que para $f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x$ tenemos $$f'(x)=2\sin x \cos x-2\cos x\sin x =0.$$ Así, $f$ es una función constante. Como $f(0)=1$ , $f$ es idéntico a 1.

Por lo tanto, la identidad pitagórica es válida: $$\sin^2 x+\cos^2x=1.$$ De ello se deduce que la curva $C$ parametrizado por $x=\cos t$ , $y=\sin t$ es un círculo de radio 1 centrado en el origen. El análisis posterior de esta curva revelará que los valores de $\sin$ y $\cos$ se puede leer a partir de las longitudes de los lados de los triángulos rectos.

Obsérvese, en particular, que la longitud de arco desde $t=0$ a $t=t_0$ es $\int_0^{t_0} \sqrt{\bigl[{dx\over dt} \bigr]^2 +\bigl[{dy\over dt}\bigr]^2 }\,dt=t_0$ ; por lo que el ángulo al que se refiere el "método del triángulo" se interpreta de forma correcta.

Answer 2

En esta pista Sugiero que se demuestre a partir de la serie de potencias que si $$\sin(x)=\sum_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\tag{1}$$ y $$\cos(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x)=\sum_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}\tag{2}$$ que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos(x)=-\sin(x)$ y de ahí que $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\tag{3}$$ Por lo tanto, $(\cos(x),\sin(x))$ se encuentra en el círculo unitario.

Para ver que $(\cos(x),\sin(x))$ se mueve alrededor del círculo unitario con una velocidad unitaria, observe que $(3)$ implica $$\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x),\sin(x))\right|=\left|(-\sin(x),\cos(x))\right|=1\tag{4}$$ Así, $(3)$ y $(4)$ dicen que $(\cos(x),\sin(x))$ se mueve alrededor del círculo de la unidad a la velocidad de la unidad. Obsérvese también que $(-\sin(x),\cos(x))$ está en un ángulo recto en sentido contrario a las agujas del reloj desde $(\cos(x),\sin(x))$ . Por lo tanto, $(\cos(x),\sin(x))$ se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario a velocidad unitaria, comenzando en $(1,0)$ . Esto debería ser suficiente para demostrar que $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son las funciones trigonométricas estándar.

Answer 3

De la serie, es fácil ver El foro de Euler ,

$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$

Con más manipulación de la serie, podemos obtener el teorema de Pitágoras,

$$|e^{ix}| = e^{ix}e^{-ix} = (\cos(x) + i\sin(x))(\cos(x) - i\sin(x)) = \cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1$$

Sabiendo que $\sin(x)$ y $\cos(x)$ tienen alcance $[-1,1]$ y son funciones Impares y pares respectivamente, vemos que $e^{ix}$ traza el círculo unitario en $\mathbb{C}$ . De aquí podemos extraer la interpretación geométrica del seno y el coseno.

Answer 4

Para llegar a la geometría, tome las versiones "no geométricas" del coseno y el seno, digamos $C(t)$ y $S(t)$ . Podemos utilizarlos para parametrizar el círculo unitario, simplemente por el hecho de que $C^2(t)+S^2(t)=1$ .

Ahora viene la parte crucial, calcular el arclength . Encontramos que la arclitud de $0$ a $t$ es $t$ . Esto conecta $C(t)$ y $S(t)$ con "ángulo", que en la teoría formal es simplemente arclitud.

Answer 5

El mejor enfoque que he visto utiliza el hecho de que $\exp z=\lim_{n\to\infty} (1+\frac{z}{n})^n$ para todos los complejos $z$ . Entonces, para ser real $x$ mostramos que, para grandes $n$ , $1+\frac{ix}{n}$ es "lo suficientemente cercano" a $\cos \frac{x}{n} + i\sin\frac{x}{n}$ para que $(1+\frac{ix}{n})^n$ está "lo suficientemente cerca" de $\cos x + i\sin x$ . (Aquí, $\cos$ y $\sin$ son las definiciones geométricas de las funciones trigonométricas).

Por lo tanto, primero hay que definir $\exp z$ a través de la serie de potencia normal, y luego mostrar que $\exp z = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{z}{n})^n$ .

Entonces, defina $\operatorname{cis} x =\cos x + i\sin x$ y demostrar, utilizando las propiedades (geométricas) de las funciones trigonométricas, que $\operatorname{cis} x\operatorname{cis} y =\operatorname{cis} (x+y)$ . Entonces, observe que por inducción, $(\operatorname{cis} x)^n = \operatorname{cis} nx$ .

A continuación, vamos a calcular $\exp(ix)$ escribiendo $1+\frac{ix}n$ en coordenadas polares, $r_n \operatorname{cis}(\theta_n)$ .

Como se ha mencionado anteriormente, el objetivo es demostrar que, para un tamaño suficientemente grande $n$ , $1+\frac{ix}{n}$ está "lo suficientemente cerca" de $\operatorname{cis} \frac{x}n$ para que el límite de $(1+\frac{ix}n)^n$ es el mismo que el límite de $(\operatorname{cis}\frac x n)^n = \operatorname{cis} x$ y por lo tanto $\exp(ix)=\operatorname{cis} x$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $r_n=\sqrt{1+\frac{x^2}{n^2}}$ y demostrar que $r_n^n\to 1$ como $n\to \infty$ . (Esto es relativamente fácil, teniendo en cuenta que $(r_n)^{2n^2}\to \exp (x^2)$ .)

Esto demuestra que $\exp(ix)$ termina en el círculo unitario de verdad $x$ y es igual a $\lim_{n\to\infty} \operatorname{cis}(n\theta_n)$ .

Lo que sabemos sobre $\theta_n$ es que $\sin \theta_n = \frac{x}{nr_n}$ .

Lo siguiente que tienes que demostrar es que $\lim_{n\to\infty} n\theta_n = x$ . Entonces ha demostrado que $\exp(ix)=\operatorname{cis} x$ .

La clave para demostrar este último límite es mostrar que, para pequeños $\theta$ , $|\theta-\sin(\theta)|\leq C|\sin \theta|^2$ para alguna constante $C$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que demostrar esto no es fácil, ya que estamos asumiendo que no conocemos la expansión de la serie de potencias para $\sin$ .

Si puedes mostrar eso, entonces puedes mostrar, para grandes $n$ , $|\theta_n - \frac{x}{nr_n}|\leq C|\frac{x}{r_nn}|^2<C|\frac{x}{n}|^2$ . Así que $|n\theta_n - \frac{x}{r_n}|<C\frac{|x^2|}{n}$ .

Así que, como $\frac{x}{r_n}\to x$ , $n\theta_n\to x$ y por lo tanto, $\lim \operatorname{cis} n\theta_n = \operatorname{cis} x$

Así que todo lo que queda por demostrar es que para lo suficientemente pequeño $\theta$ , $|\theta - \sin \theta| \leq C|\sin \theta|^2$ . (En realidad, se podría sustituir $2$ con $1+\epsilon$ por el hecho de ser fijo $\epsilon>0$ .)

La razón geométrica de esto último es la siguiente. Sea $P=(1,0)$ y $Q=(\cos \theta,\sin \theta)$ . Tome las líneas tangentes al círculo en $P$ y $Q$ y que su intersección sea $R$ . Reclamaciones (para las pequeñas $\theta>0$ :)

$$|PR|=|QR|=\tan\frac{\theta}2$$ $$\sin\theta < \theta < |PR|+|QR|=2\tan\frac{\theta}2$$

La primera mitad de la desigualdad se debe a que $\sin \theta$ es el más corto distante de $Q$ a la $x$ -eje, y $\theta$ es la longitud del camino desde $Q$ a la $x$ -eje a lo largo del círculo. La segunda desigualdad es un poco menos intuitiva - básicamente, se debe a la regla de que el camino más corto desde $P$ a $Q$ que no va dentro del círculo es a lo largo del círculo.

(Para los pequeños $\theta<0$ Hay que invertir todos los signos, pero los resultados son los mismos).

Así lo vemos:

$$|\theta-\sin \theta| < |2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta|$$

Pero $2\tan\frac{\theta}2 = \frac{2\sin \frac{\theta}2}{\cos\frac\theta 2}$ . Multiplique el numerador y el denominador por $\cos \frac{\theta}2$ y lo vemos:

$$2\tan\frac{\theta}2 = \frac{\sin \theta}{\cos^2\frac{\theta}2}$$

Así que:

$$|2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta| = |\sin \theta \frac{\sin^2\frac \theta 2}{\cos^2\frac\theta 2}|$$

Multiplicando el numerador y el denominador por $4\cos^2\frac \theta 2$ obtenemos:

$$|2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta| = |\sin\theta \frac{\sin^2\theta}{4\cos^4\frac{\theta}2}|$$

Así que con $\theta$ lo suficientemente pequeño como para que $\cos\frac\theta 2>\frac{1}{2}$ tenemos

$$|\theta-\sin \theta| < |2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta| < 4|\sin^3\theta|<4|\theta|^3$$

Así que ahora sabemos que $\exp ix = \operatorname{cis} x$ . Esto significa, a su vez, que $$\sin x = \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i}$$ y $$\cos x = \frac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}$$

De ahí podemos derivar la serie de potencias para $\sin$ y $\cos$ utilizando la serie de potencias para $\exp$ .