El mejor enfoque que he visto utiliza el hecho de que $\exp z=\lim_{n\to\infty} (1+\frac{z}{n})^n$ para todos los complejos $z$ . Entonces, para ser real $x$ mostramos que, para grandes $n$ , $1+\frac{ix}{n}$ es "lo suficientemente cercano" a $\cos \frac{x}{n} + i\sin\frac{x}{n}$ para que $(1+\frac{ix}{n})^n$ está "lo suficientemente cerca" de $\cos x + i\sin x$ . (Aquí, $\cos$ y $\sin$ son las definiciones geométricas de las funciones trigonométricas).
Por lo tanto, primero hay que definir $\exp z$ a través de la serie de potencia normal, y luego mostrar que $\exp z = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{z}{n})^n$ .
Entonces, defina $\operatorname{cis} x =\cos x + i\sin x$ y demostrar, utilizando las propiedades (geométricas) de las funciones trigonométricas, que $\operatorname{cis} x\operatorname{cis} y =\operatorname{cis} (x+y)$ . Entonces, observe que por inducción, $(\operatorname{cis} x)^n = \operatorname{cis} nx$ .
A continuación, vamos a calcular $\exp(ix)$ escribiendo $1+\frac{ix}n$ en coordenadas polares, $r_n \operatorname{cis}(\theta_n)$ .
Como se ha mencionado anteriormente, el objetivo es demostrar que, para un tamaño suficientemente grande $n$ , $1+\frac{ix}{n}$ está "lo suficientemente cerca" de $\operatorname{cis} \frac{x}n$ para que el límite de $(1+\frac{ix}n)^n$ es el mismo que el límite de $(\operatorname{cis}\frac x n)^n = \operatorname{cis} x$ y por lo tanto $\exp(ix)=\operatorname{cis} x$ .
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $r_n=\sqrt{1+\frac{x^2}{n^2}}$ y demostrar que $r_n^n\to 1$ como $n\to \infty$ . (Esto es relativamente fácil, teniendo en cuenta que $(r_n)^{2n^2}\to \exp (x^2)$ .)
Esto demuestra que $\exp(ix)$ termina en el círculo unitario de verdad $x$ y es igual a $\lim_{n\to\infty} \operatorname{cis}(n\theta_n)$ .
Lo que sabemos sobre $\theta_n$ es que $\sin \theta_n = \frac{x}{nr_n}$ .
Lo siguiente que tienes que demostrar es que $\lim_{n\to\infty} n\theta_n = x$ . Entonces ha demostrado que $\exp(ix)=\operatorname{cis} x$ .
La clave para demostrar este último límite es mostrar que, para pequeños $\theta$ , $|\theta-\sin(\theta)|\leq C|\sin \theta|^2$ para alguna constante $C$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que demostrar esto no es fácil, ya que estamos asumiendo que no conocemos la expansión de la serie de potencias para $\sin$ .
Si puedes mostrar eso, entonces puedes mostrar, para grandes $n$ , $|\theta_n - \frac{x}{nr_n}|\leq C|\frac{x}{r_nn}|^2<C|\frac{x}{n}|^2$ . Así que $|n\theta_n - \frac{x}{r_n}|<C\frac{|x^2|}{n}$ .
Así que, como $\frac{x}{r_n}\to x$ , $n\theta_n\to x$ y por lo tanto, $\lim \operatorname{cis} n\theta_n = \operatorname{cis} x$
Así que todo lo que queda por demostrar es que para lo suficientemente pequeño $\theta$ , $|\theta - \sin \theta| \leq C|\sin \theta|^2$ . (En realidad, se podría sustituir $2$ con $1+\epsilon$ por el hecho de ser fijo $\epsilon>0$ .)
La razón geométrica de esto último es la siguiente. Sea $P=(1,0)$ y $Q=(\cos \theta,\sin \theta)$ . Tome las líneas tangentes al círculo en $P$ y $Q$ y que su intersección sea $R$ . Reclamaciones (para las pequeñas $\theta>0$ :)
$$|PR|=|QR|=\tan\frac{\theta}2$$ $$\sin\theta < \theta < |PR|+|QR|=2\tan\frac{\theta}2$$
La primera mitad de la desigualdad se debe a que $\sin \theta$ es el más corto distante de $Q$ a la $x$ -eje, y $\theta$ es la longitud del camino desde $Q$ a la $x$ -eje a lo largo del círculo. La segunda desigualdad es un poco menos intuitiva - básicamente, se debe a la regla de que el camino más corto desde $P$ a $Q$ que no va dentro del círculo es a lo largo del círculo.
(Para los pequeños $\theta<0$ Hay que invertir todos los signos, pero los resultados son los mismos).
Así lo vemos:
$$|\theta-\sin \theta| < |2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta|$$
Pero $2\tan\frac{\theta}2 = \frac{2\sin \frac{\theta}2}{\cos\frac\theta 2}$ . Multiplique el numerador y el denominador por $\cos \frac{\theta}2$ y lo vemos:
$$2\tan\frac{\theta}2 = \frac{\sin \theta}{\cos^2\frac{\theta}2}$$
Así que:
$$|2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta| = |\sin \theta \frac{\sin^2\frac \theta 2}{\cos^2\frac\theta 2}|$$
Multiplicando el numerador y el denominador por $4\cos^2\frac \theta 2$ obtenemos:
$$|2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta| = |\sin\theta \frac{\sin^2\theta}{4\cos^4\frac{\theta}2}|$$
Así que con $\theta$ lo suficientemente pequeño como para que $\cos\frac\theta 2>\frac{1}{2}$ tenemos
$$|\theta-\sin \theta| < |2\tan\frac\theta 2 - \sin\theta| < 4|\sin^3\theta|<4|\theta|^3$$
Así que ahora sabemos que $\exp ix = \operatorname{cis} x$ . Esto significa, a su vez, que $$\sin x = \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i}$$ y $$\cos x = \frac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}$$
De ahí podemos derivar la serie de potencias para $\sin$ y $\cos$ utilizando la serie de potencias para $\exp$ .
