Suma igual a la del producto

Question

Sé que $2 + 2 = 2 \cdot 2$ $1 + 2 + 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3.$

Mi pregunta: ¿hay otras enteros positivos con suma igual a la del producto? (El número 1 no puede aparecer más de una vez entre ellos.)

Por tanto, estoy excluyendo el infinito de soluciones obtenidas mediante la repetición de 1, tales como:

$$1 + 1 + 2 + 4 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4$$

$$1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5$$

Answer 1

Primero vamos a mirar a los 2 números.

Considere la posibilidad de $a,b \in \mathbb{N}$. Tenemos $ab=a+b$ $$\implies ab-a=b$$ $$\implies a(b-1)=b$$ $$\therefore b-1|b$$ $$\implies b=2$$ $$\implies a=2$$ Y esta es la única solución para dos números.

Ahora veamos $n$ números, $a_1,a_2,a_3, \dots a_n \in \mathbb{N}$. WlOG $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$

Tenemos $a_1a_2a_3 \cdots a_{n-1}a_n=a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_n$. Claramente el camino a optimizar la situación (i.e la minimización de la L. H. S, mientras que la maximización de la R. H. S) es poner a $a_1=1$ $a_2,a_3, \cdots a_n=2$

Entonces $2^{n-1}=2n-1$ $$\implies2^{n-2}<n-1$$ $$\implies n\leq3$$

Así que ahora tenemos que ver el $n=3$ (ya lo hemos hecho $n=2$).

Si ninguno de los términos es igual a uno el caso más probable es 2,2,2 que no funciona, de manera que nadie puede trabajar. Por lo $a_1=1$, entonces tenemos $$a_2a_3=1+a_2+a_3$$ $$\implies a_2a_3-a_2=a_3+1$$ $$\implies a_2(a_3-1)=a_3+1$$ $$\implies a_3-1 | a_3+1$$ $$\implies a_3=2,3$$ Which you can sub in and you find the only solution to be $a_1=1,a_2=2,a_3=3$.