Hay un problema en la definición de un número complejo por $ z = x+iy$?

Question

El campo $\mathbb{C} $ de los números complejos está bien definido por el Hamilton axiomas de la suma y producto entre números complejos, es decir, un complejo número de $z$ es un par ordenado de números reales $(x,y)$, que cumplan las siguientes operaciones $+$$\cdot$:

$ (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+x_2) $

$(x_1,y_1)(x_2,y_2) = (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2 + x_2y_1)$

Las propiedades de campo se derivan de ellos.

Mi pregunta es: ¿existe un problema en la definición de los números complejos simplemente por $z = x+iy$ donde $i² = -1$ y $x$, $y$ los números reales y de importación de $\mathbb{R} $ de las operaciones? O es sólo una forma elegante de escribir la misma cosa?

Answer 1

No hay una "explícita" problema, pero si se van a definir como formal de símbolos, entonces usted necesita para distinguir entre el + en el símbolo $a$+ $bi$ , $+$ operación $\mathbb{R}$, y la operación de suma que va a definir más adelante hasta que se demuestra que se puede "confundirse"/identificado el uno con el otro.

Es decir, debe definir $\mathbb{C}$ a ser el conjunto de todos los símbolos de la forma $a$+ $bi$ $a,b\in\mathbb{R}$ . A continuación, se definen una adición $\oplus$ y una multiplicación $\otimes$ por las reglas

$(a$+$bi)\oplus(c$+$di) = (a+c)$ + $(c+d)i$

$(a$+$bi)\otimes(c$+$di) = (ac - bd)$ + $(ad+bc)i$

donde $+$ $-$ el número real de suma y resta, y + es meramente formal símbolo.

Entonces usted puede demostrar que usted puede identificar el número real $a$ con el símbolo $a$+$0i$; y que $(0$+$i)\otimes(0$+$i) = (-1)$+$0i$; etc. En este punto usted puede comenzar a abusando de la notación y la describe como hacerlo, utilizando el mismo símbolo para $+$, $\oplus$, y +.

Así que... el método que propongo (que estaba en el hecho de cómo los números complejos fueron utilizados en un principio) es sólo un poco más notationally abusivo, mientras que el método de pares ordenados es mucho más formal, dando una precisión de la "sustancia" a los números complejos como "cosas" (suponiendo que usted piensa que el avión es una "cosa") y no sólo como "formal de símbolos".

Answer 2

Hay un completo modo riguroso para hacer la construcción se aluden en el último párrafo, a saber, por medio del cociente de los anillos. De hecho, $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}[X] / (X^2 + 1)$. Esto se generaliza, por ejemplo, podemos construir un anillo conmutativo con elementos de la forma $x + y \epsilon$ donde $\epsilon^2 = 0$. El anillo así construido no es enfáticamente un campo, pero a veces es útil para realizar la diferenciación simbólica.

Answer 3

Acaba de establecer $i=(0,1)$ $x=(x,0)$ real $x$, y la notación $x+iy$ es sólo una abreviatura para la notación de pares ordenados.

Por supuesto, usted puede también elegir $i=(0,-1)$ ........