¿Existe una función $f:[0,1]\to[0,1]$ cuyo gráfico sea denso en $[0,1]\times[0,1]$?

Question

¿Existe una función $f:[0,1]\to [0,1]$ tal que el gráfico de $f$ sea denso en $[0,1]\times[0,1]?

No necesariamente continua.

Answer 1

Sí. Sea $Q=[0,1]\cap\Bbb Q$, el conjunto de números racionales en $[0,1]$; $Q$ es numerable, por lo que podemos enumerarlo como $Q=\{q_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Sea $P$ el conjunto de números primos, y sea $A=\{\sqrt{p}:p\in P\}$; $A$ es un conjunto numerable infinito de números reales con la propiedad de que $a-b$ es irracional siempre que $a, b\in A$ con $a\neq b.

Para cada $a\in A$ sea $Q_a=\{x\in[0,1]:x-a\in\Bbb Q}$; Para $n\in\Bbb Z^+$ sea $a_n=\sqrt{p_n}$, donde $p_n$ es el $n$-ésimo primo, y sea $Q_n=\{x\in[0,1]:x-a_n\in\Bbb Q}$; los conjuntos $\{Q_n:n\in\Bbb Z^+\}$ son mutuamente disjuntos, y cada uno es denso en $[0,1]. Ahora sea$$f:[0,1]\to[0,1]:x\mapsto\begin{cases} q_n,&\text{si }x\in Q_n\\\\ 0,&\text{si }x\in[0,1]\setminus\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}Q_n\;; \end{cases}$$

la construcción asegura que el gráfico de $f$ es denso en $[0,1]\times[0,1]$, ya que es denso en un conjunto denso de cortes horizontales a través del cuadrado.

Answer 2

El gráfico de cualquier función lineal discontinua es denso en $\mathbb{R}^2$, sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función tal que $f(x + y) = f(x) + f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}$. Si $f$ es continua, entonces por supuesto tiene que ser lineal. Pero aquí $f$ no es continua. Entonces muestra que el conjunto $\{(x, f(x)) : x \in \mathbb{R}\}$ es denso en $\mathbb{R}^2.$ toma $x_1 \neq 0$, si $f$ no tiene la forma $f(x) = cx$, entonces existe $x_2 \neq 0$ tal que $f(x_1) / x_1 \neq f(x_2) / x_2$ En otras palabras, si lo escribes en forma determinante en la cual la primera y segunda fila son $(x_1, f(x_1))$, $(x_2, f(x_2))$ respectivamente, entonces el determinante será distinto de cero. Así que los vectores $v_1 = (x_1, f(x_1))$ y $v_2 = (x_2, f(x_2))$ son linealmente independientes y por lo tanto abarcan todo el plano $\mathbb{R}^2$. ¡Desde ahora supongo que la densidad de la racionalidad ayudará!

Answer 3

Si $x$ es un decimal finito, $x=.d_1d_2\dots d_n$, sea $f(x)=.d_n\dots d_2d_1$. Define $f$ de cualquier manera que desees en otros lugares. ¿Puedes mostrar que la imagen es densa?

EDICIÓN: Como señala Robert en su comentario, esto no funciona del todo. Quizás esto funcione en su lugar: si $x=.d_1d_2\dots d_{2n}$ es un decimal finito con un número par de dígitos (sin contar los ceros terminales), sea $f(x)=.d_{n+1}d_{n+2}\dots d_{2n}d_1d_2\dots d_n$. Nuevamente, para otros $x$, define $f(X)$ arbitrariamente.

Answer 4

La función base-13 de Conway toma cualquier número real en cualquier intervalo cerrado $[a,b]$. Así que solo tienes que restringir su rango a $[0,1]$ para obtener tu función $f$.

Answer 5

Para un ejemplo probabilístico, sea $\{U_n\}$ una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución uniforme en $[0,1]$. Enumerar los racionales como $\{q_n\}$ y establecer $f(q_n) = U_n$ y $f(x) = 0$ para $x$ irracional. Afirmo que $f$ tiene un gráfico denso con probabilidad 1.

Considere un cuadrado abierto $(a,b) \times (c,d) \subset [0,1]^2$, con $a,b,c,d$ racionales (y también se permiten intervalos semiabiertos en el borde, como $(a,1]$, etc.). Elija infinitos racionales $\{q_{n_k}\}$ que yacen en $(a,b)$. Para cada $k$, la probabilidad de que $U_{n_k} \in (c,d)$ es $d-c > 0$. Por independencia, la probabilidad de que al menos uno de $U_{n_1}, \dots, U_{n_m}$ esté en $(c,d)$ es $1-(1-(d-c))^m$. A medida que $m \to \infty$, esto tiende a 1, por lo que con probabilidad 1, existe algún $k$ con $f(q_{n_k}) = U_{n_k} \in (c,d)$, es decir, el gráfico de $f$ contiene un punto de $(a,b) \times (c,d)$.

Dado que hay un número numerable de cuadrados racionales, el evento de que el gráfico de $f$ contenga un punto en cada cuadrado racional es una intersección numerable de eventos de probabilidad 1, por lo que también tiene probabilidad 1. Pero cada conjunto abierto en $[0,1]^2$ contiene un cuadrado racional, por lo que en este evento, el gráfico de $f$ es denso.