Evaluar $\int_0^\infty\frac {\sin^4(x)} {x^4} \operatorname dx$

Question

Cómo evaluar la integral definida:

$$\int \limits_0^\infty\frac {\sin^4(x)} {x^4} \operatorname dx$$

También proporcionan la referencia a varios teoremas para ser utilizado para evaluar! Gracias.

Answer 1

Recordando el resultado

$$\int_{0}^{\infty} G(u)f(u) du = \int_{0}^{\infty} g(u)F(u) du,$$

donde $F(u)$ $G(u)$ son la transformada de Laplace de $f$$g$. Ahora, aplicando esto a nuestro problema nos da

$$\int_0^\infty\frac {\sin^4(x)} {x^4} dx = 4\int_{0}^{\infty} {\frac {x^2}{ \left( {x}^{2}+4 \right) \left( {x}^{2}+16 \right) } }=\frac{\pi}{3}\,.$$

Nota:

1) se utilizaron los siguientes transformadas de Laplace

$$\mathcal{L} (\sin(x)^4) = {\frac {24}{s \left( {s}^{2}+4 \right) \left( {s}^{2}+16 \right) } },$$

$$\mathcal{L} ( \frac{x^3}{6} )= \frac{1}{s^4}.$$

2) el Uso de la fracción parcial para evaluar la integral

$${\frac {x^2}{ \left( {x}^{2}+4 \right) \left( {x}^{2}+16 \right) } }= \frac{4}{3}\, \frac{1}{ {x}^{2}+16 } - \frac{1}{3}\, \frac{1}{ {x}^{2}+4 }.$$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{\int_{0}^{\infty}{\sin^4\pars{x} \over x^4}\,\dd x:\ {\large ?}}$.

Vamos $\ds{{\cal I}\pars{\mu} \equiv \media\int_{-\infty}^{\infty} {\sin^4\pars{\mu x} \over x^4}\,\dd x\ \mbox{con}\ \mu > 0}$ y tales que $\ds{\int_{0}^{\infty}{\sin^4\pars{x} \over x^4}\,\dd x = {\cal I}\pars{1}}$. También, $\ds{{\cal I}\pars{0^{+}} = 0}$.

$$\begin{align} {\cal I}'\pars{\mu}&=2\int_{-\infty}^{\infty}{\sin^{3}\pars{\mu x}\cos\pars{\mu x} \over x^3}\,\dd x =\int_{-\infty}^{\infty}{\sin^{2}\pars{\mu x}\sin\pars{2\mu x} \over x^{3}}\,\dd x \\[3mm]&=\half\int_{-\infty}^{\infty} {\sin\pars{2\mu x} - \sin\pars{2\mu x}\cos\pars{2\mu x} \over x^{3}}\,\dd x ={1 \over 4}\int_{-\infty}^{\infty}{2\sin\pars{2\mu x} - \sin\pars{4\mu x} \over x^{3}} \,\dd x\\[3mm]&\mbox{with}\ {\cal I}'\pars{0^{+}} = 0 \end{align}$$

$$\begin{align} {\cal I}''\pars{\mu}&=\int_{-\infty}^{\infty} {\cos\pars{2\mu x} - \cos\pars{4\mu x} \over x^{2}}\,\dd x\,, \qquad{\cal I}''\pars{0^{+}} = 0 \end{align}$$

$$\begin{align} {\cal I}'''\pars{\mu}&=\int_{-\infty}^{\infty} {-2\sin\pars{2\mu x} + 4\sin\pars{4\mu x} \over x}\,\dd x\ =-2\int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x + 4\int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[3mm]&=2\pi\quad\mbox{where we used the well know result}\ \int_{-\infty}^{\infty}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x = \pi \end{align}$$

A continuación, $${\cal I}"\pars{\mu} = 2\pi\mu\,,\quad{\cal I}'\pars{\mu} = \pi\mu^{2}\quad \mbox{y}\quad{\cal I}\pars{\mu} = {1 \over 3}\,\pi\mu^{3}$$ $$\color{#00f}{\large% \int_{0}^{\infty}{\sin^{4}\pars{x} \over x^{4}}\,\dd x = {1 \over 3}\,\pi}$$

Answer 3

Podemos utilizar una versión de Parseval de la igualdad:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x)^2 = \frac1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, F(k)^2$$

donde

$$F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) \, e^{i k x}$$

Ahora, podemos usar el conocido FT:

$$f(x) = \frac{\sin^2{x}}{x^2} \implies F(k) = \pi \left (1-\frac{|k|}{2} \right )$$

(Este resultado puede ser fácilmente derivan de la utilización de, por ejemplo, el teorema de convolución en la más básica PIES de $\sin{x}/x$.)

Por lo tanto la integral es $1/2$ de

$$\frac1{2 \pi} \pi^2 \int_{-2}^2 dk \, \left (1-\frac{|k|}{2} \right )^2 = \pi \int_0^2 \left ( 1-k+\frac14 k^2\right ) = \frac{2 \pi}{3}$$

o $\pi/3$.

Answer 4

NOTA: Este es un boceto de lo que una solución puede parecer, pero es lo que es y nada más - un boceto.

Me gustaría hacer es un residuo de la'.

En primer lugar, tenga en cuenta que:

$$\sin^4{x} = \Re \frac{e^{4it}-4e^{2it}+3}{8}$$

A continuación, tenga en cuenta que si elegimos un contorno integral sobre el semicírculo en el plano complejo - que es en $\Gamma_{R}$ $R \rightarrow \infty$ - nos están delimitadas por $\frac{1}{R^3} \rightarrow 0$$R \rightarrow \infty$. Tomamos nota de que el único polo es al $z=0$, por lo que este problema se reduce a $2\cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^4(x)}{x^4} = -\pi \cdot i \cdot Res_{z=0} \frac{\sin^4(z)}{z^4}$. Ahora, la tercera derivada es $\frac{-64ie^{4it} + 32ie^{2it}}{8}$. Esto le da un residuo de $1/3! \cdot \frac{-32i}{8} = -2i/3$.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^4(x)}{x^4} dx = 1/2\cdot \pi i \cdot -2i/3 = \pi/3$.