¿Cuántos números primos se conocen?

Question

Wikipedia dice que el número primo más grande conocido es $2^{43,112,609}-1$ y tiene 12,978,189 dígitos. Sigo tropezando con esta pregunta/respuesta una y otra vez, pero no he podido encontrar cuántos números primos conocidos existen. El sitio web primes.utm.edu permite descargar los primeros 50,000,000 números primos conocidos, por lo que sé que al menos hay esa cantidad; no espero encontrar una lista de todos los números primos conocidos, ¿pero hay alguna información sobre cuántos hay conocidos?

edit Video relevante de Khan Academy: Teorema de los números primos: la densidad de los primos

Answer 1

Nadie realmente está llevando la cuenta.

Los nuevos grandes números primos descubiertos son noticia, pero los primos en el rango de, digamos, unos pocos cientos de dígitos no son algo que nadie lleve registro. Son muy fáciles de encontrar: la computadora que te está mostrando este texto probablemente es capaz de encontrar al menos varios por segundo para ti, y es abrumadoramente probable que sean primos que nadie más haya visto antes.

Hay muchos primos de cientos de dígitos por encontrar. Podríamos cubrir la Tierra con discos duros llenos de distintos primos de cientos de dígitos hasta una altura de cientos de metros, sin siquiera hacer un pequeño mella en el suministro de primos de cientos de dígitos.

Esto también plantea la pregunta de qué significa que un primo es "conocido". Si genero una docena de primos de cientos de dígitos y se olvidan después de cerrar la ventana que los muestra, ¿estos primos todavía son "conocidos"? Si en cambio imprimo uno de ellos y guardo la copia en una caja fuerte sin mostrarlo a nadie, ¿ese primo es "conocido"? ¿Qué pasa si lo coloco en la base de concreto de mi nueva casa?

Answer 2

Para obtener una estimación aproximada, revisé el rendimiento de la función PrimeQ en Mathematica en mi computadora. Parece que para calcular todos los números primos hasta $10^n$ usando esta función, necesito aproximadamente $11^{(n-6)} \mathrm{segundos}$ en mi núcleo único de amd athlon 7750. Por ejemplo, me tomaría aproximadamente $1500$ años calcular todos los números primos hasta $10^{16}$, y como resultado obtendría $10^{14}$ números primos.

Como dijo @Henning Makholm

Nadie está realmente contando (los números primos).

Probablemente sea porque es más eficiente calcularlos cuando se necesitan que almacenarlos. Y como en criptografía solo son importantes los números primos muy grandes, nadie realmente necesita esos pequeños.

Answer 3

Me topé con este recurso interesante:

Los primeros cincuenta millones de números primos

Enumera el primer y último primo de conjuntos de un millón, y un récord más reciente:

Nuevo primo récord (GIMPS): $2^{82,589,933}-1$

con 24,862,048 dígitos por P. Laroche, G. Woltman, A. Blosser, et al. (7 Dic 2018)

_{Fuente: <a href="https://primes.utm.edu/" rel="nofollow noreferrer">La página de números primos (utm.edu)</a>}

También encontré los primeros 2 mil millones de números primos, que no es un sitio académico, pero tiene enlaces a algunas otras bases de datos de números primos.

Answer 4

Resulta que ni siquiera WolphramAlpha puede calcular una respuesta aproximada. Espero haber entendido esto bien:

Partimos de la respuesta aceptada a la pregunta Encontrar el 2,147,483,647º número primo, que dice que según el teorema de los números primos tenemos

$$\pi(n)\approx\frac{n}{\log(n)}$$

donde $\pi(n)$ es el número de números primos menores que $n$. El primo más grande conocido, descubierto en 2008, es $2^{43,112,609}-1$, pero si ponemos ese valor en lugar de $n$ obtenemos una respuesta tan grande que ni siquiera WolframAlpha puede calcular $\pi(n)$ (no es necesario hacer clic, porque no funciona).

Sin embargo, aún podemos encontrar una respuesta aproximada gracias a la lista de los 10 primos más grandes conocidos. El número más grande para el cual WolframAlpha aún funciona actualmente ocupa el 3er lugar en esa lista y su valor es $2^{37,156,667}-1$ a partir del cual obtenemos que hay aproximadamente $7.853*10^{11,185,263}$ (o $10^{10^{7.04865}}$) primos menores que $2^{37,156,667}-1$ utilizando la fórmula $\pi(n)$.