Una Función de Meromorphic con los Polacos en el de los números Primos

Question

Hay un "naturalmente" la función $f$ que es meromorphic en el plano complejo tal que los polos de $f$ sobre el eje real, precisamente el de los números primos? Digo "naturalmente" ya que siempre puede cocinar una función con el derecho de los polos de la orden correcto, pero tengo la esperanza que proviene de la teoría de números.

Alternativamente, hay una que surge naturalmente la función de meromorphic cuyos polos aparecen en todos los primos y las potencias de los números primos?

Answer 1

Deje $P(s) = \sum_{p} p^{-s}$ ser el Primer zeta función.

Reclamo: la expansión de la serie $$f(z) = 2 \sum_{n=1}^\infty P(2n)z^{2n-1}$$ defines a meromorphic function whose only poles are simple poles of residue $1$ en los números primos y sus puntos negativos.

Deje $F(z) = \prod_ p (1-z^2/p^2)^{-1}$. El producto converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\mathbf C - P$ donde $P$ es el conjunto de todos los números primos y sus puntos negativos. Por lo tanto es holomorphic allí. Ha simple polos en los puntos de $P$. (Nota de la especial valor $F(1) = \zeta(2) = \pi^2/6$).

El uso de la expansión de la serie de $\log(1-x)$, tenemos la expansión de la serie de $\log F$, $$\log F(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{P(2n)}{n}z^{2n}.$$

Tomando la derivada obtenemos $f(z)$. Desde los polos de $F$ son simples y $F$ nunca $0$ $\mathbf C - P$ (en la cuenta de la convergencia del producto), $f = F'/F$ sencilla polos con residuo $1$ en los puntos de $P$, y ningún otro de los polos.