Encontrar todas las funciones continuas tales que $\int_{-1}^{1}f(x)x^ndx=0$.

Question

Encontrar todas las funciones continuas en $[-1,1]$ tal que $\int_{-1}^{1}f(x)x^ndx=0$ fof todos los números enteros $n$.

Claramente, si $f$ es una función impar, entonces se cumple esta condición. ¿Y qué más?

Answer 1

Se observó que todos los impares función continua $f$ satisface todas estas ecuaciones. Intente demostrar lo contrario también: Si $f$ es una solución, entonces es impar.

Sugerencia: Cada función de $f$ puede ser dividido en sus pares e impares partes. Por lo tanto, es suficiente para demostrar lo siguiente: Si $f$ es incluso y resuelve las ecuaciones, entonces es idénticamente igual a cero. Pensar acerca de la aproximación por polinomios. Mostrar que una función par $f\in C([-1,1])$ puede ser uniformemente de forma aproximada incluso polinomios. Hay varias maneras de hacer esto.

Answer 2

Desde cualquier $f(x)$ puede ser dividido en una suma de impares y pares funciones, decir $f(x) = g(h) + h(x)$ donde $g(x)$ es impar y $h(x)$ es incluso, es posible concentrarse en la pregunta si o no o incluso funciones tales que: $$\int_{-1}^{1}{h(x)x^ndx}=0$$ existen. Por otra parte, si dicha función no existe, también es cierto que por la construcción de cada polinomio $P(x)$: $$\int_{-1}^{1}{h(x)P(x)dx}=0$$ Construimos $P_m$, $m$- expansión polinomial de: $$\frac{\sin(m (x-\alpha))}{m(x-\alpha)} + \frac{\sin(m (x+\alpha))}{m(x+\alpha)}$$ En el límite de $m\rightarrow\infty$: $$\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{-1}^{1}{h(x)P_m(x)dx}=2h(\alpha)$$ Ya podemos construir una serie para cada una de las $\alpha$, la función de $h(x)$ debe ser arbitrariamente pequeño en cada punto, por lo tanto demostrando que no aun no-cero de las funciones de existir y que sólo impar funciones cumplir con el requisito.

Answer 3

Reescribir la integral como $$\int_0^1 [f(x)+f(-x)]x^n dx = 0,$$ que vale para todos, incluso,$n$, y hacer un cambio de variables$y=x^2$, de modo que para todos los $m$, par o impar, tenemos $$ \int_0^1 \left[\frac{f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y})}{2 \sqrt{y}}\right] y^{m} dy = 0. $$

Por la Piedra Teorema de Weierstrass, los polinomios son uniformemente densa en $C([0,1])$, y por lo tanto, si el de arriba es satisfecho, debemos tener $$\frac{f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y})}{2 \sqrt{y}}=0$$ siempre que esté en $C([0,1])$. [EDIT: me acabo de dar cuenta de la singularidad puede ser un problema para la continuidad-así que tal vez el salto a la densidad de polinomios en $L^1([0,1])$.] Sustituyendo $x=\sqrt{y}$ y haciendo álgebra, de la siguiente manera $f$ es una función impar.