Integral $\int_0^\infty\frac{dx}{\frac{x^4-1}{x\cos(\pi\ln x)+1}+2x^2+2}$

Question

Necesito tu ayuda con esta integral: $$\int_0^\infty\frac{dx}{\frac{x^4-1}{x\cos(\pi\ln x)+1}+2\,x^2+2}.$$

No he podido evaluarlo de forma cerrada, aunque una evaluación numérica aproximada sugiere que su valor podría ser $\frac{\pi}{4}$ .

Answer 1

Introduzcamos la notación $$\mathcal{I}=\int_0^{\infty}\frac{dx}{\frac{x^4-1}{x\cos(\pi\ln x)+1}+2x^2+2}.$$

1. Ahora observe que \begin{align}\frac{1}{\frac{x^4-1}{x\cos(\pi\ln x)+1}+2x^2+2}&= \frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{1}{\frac{x^2-1}{x\cos(\pi\ln x)+1}+2}=\\ &=\frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{\cos(\pi\ln x)+\frac1x}{x+\frac1x+2\cos(\pi\ln x)}. \end{align}

2. Utilizando esta fórmula y haciendo el cambio de variables $x\leftrightarrow \frac1x$ podemos reescribir $\mathcal{I}$ como $$\mathcal{I}=\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{\cos(\pi\ln x)+x}{x+\frac1x+2\cos(\pi\ln x)}dx.$$

3. Sumando la última representación con la inicial, obtenemos $$2\mathcal{I}=\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}\quad \Longrightarrow\quad \mathcal{I}=\frac{\pi}{4}.$$