Hay una construcción de un conjunto perfecto que es denso en ninguna parte que no se hace en un "conjunto de Cantor" manera?

Question

Es posible construir un conjunto que es perfecto y nada densa que no se hace de la misma manera que un "Cantor como el" conjunto de es - mediante la eliminación de un determinado porcentaje medio del intervalo inicial y, a continuación, la iteración. Cantor se utiliza 1/3 y otros han utilizado diferentes percentiles. Es posible construir un conjunto de una manera que no es similar a este proceso?

Answer 1

Cualquier conjunto perfecto será cerrado por definición, entonces su complemento será abierto. Como cualquier subconjunto abierto de $\Bbb{R}$ es el contable de la unión de intervalos disjuntos, cualquier conjunto perfecto debe ser edificable por la sucesiva eliminación de abrir los intervalos de $\Bbb{R}$ en mucho la misma manera como el conjunto de Cantor es.

Dicho esto, no hay ninguna razón de las longitudes de los intervalos tienen que seguir ningún tipo de patrón agradable en la forma en que lo hacen para el conjunto de Cantor.

Answer 2

Cada innumerables conjunto cerrado que contiene un conjunto perfecto. Tomar la intersección de todos los iterada derivados (conjunto de límite de puntos), o tomar los puntos de todos los barrios de los cuales contiene una cantidad no numerable de puntos del conjunto (¿cuáles son estos puntos se llama ?). De tal manera que estos conjuntos son omnipresentes en las matemáticas. Acaba de empezar con algunos de los innumerables nada denso conjunto cerrado y tomar un subconjunto perfecto.

Answer 3

El cero de movimiento Browniano es (casi seguramente) homeomórficos para el conjunto de Cantor. De hecho, la mayoría de los conjuntos compactos $\subset \mathbb R$ derivadas en el análisis (y no, obviamente, que contiene un intervalo) son conjuntos de Cantor así.