Puede ser "diferenciable" implica "tener continua en derivadas parciales"?

Question

Considere el siguiente teorema:

Deje $E$ ser un subconjunto de ${\bf R}^n$, $f:E\to {\bf R}^m$ ser una función, $F$ ser un subconjunto de a $E$, e $x_0$ ser un punto interior de a $F$. Si todas las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ existen en $F$ y son continuas en a$x_0$, $f$ es diferenciable en a $x_0$.

Es trivial demostrar que el recíproco NO es cierto cuando se $m=1$. Parece que no hay esperanza de que sea cierto cuando $m\geq 2$. Aquí está mi pregunta:

Es a la inversa cierto cuando $m\geq 2$? Si no es cierto, cómo construir el contraejemplo?

Edit: El título es corregido.

Edit: Ya que otra pregunta no es relevante para el primero, creo, lo puse en otro post.

Answer 1

No, No son funciones diferenciables que no $C^1.$ Por ejemplo, considere el $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ $x \neq 0$ $f(x) = 0$ si $x = 0.$ $f$ es diferenciable, pero no $C^1.$

A ver que $f$ es diferenciable lejos de cero no es difícil y se sigue del producto y de la cadena de reglas. En la otra mano para mostrar $f$ es diffentiable en $0$ debemos apelar a la definición de la derivada.

Observar

$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \text{ } x \sin(1/x)$$

que converge a$0$$|x \sin(1/x)| < |x|$.

Por lo tanto, $f$ está en todas partes diffentiable.

De ello se desprende $f'(x)$ está dado por $2x\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$ si $x \neq 0$ $0$ si $x = 0.$

Pretendemos $f'$ no es continua en a $0.$ Para ver esto, observe que si $f'$ eran continuas en$0,$, entonces también lo sería la función de $g(x)$ definido por $\cos(1/x)$ si $x \neq 0$ $0$ si $x = 0.$ Pero esto es falso como $\langle\frac{1}{\pi + n2\pi}\rangle_{n\in\mathbb{Z}_+}$ es una secuencia de números reales convergentes a $0$ tal que

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} g\left(\frac{1}{\pi + n 2\pi}\right) = 1 \neq 0 = g(0).$$

Por lo tanto, $f$ es diferenciable, pero no $C^1.$

Answer 2

Volver a tu primera pregunta, el recíproco es falso y que más generalmente se menciona contraejemplos basado en el comportamiento oscilatorio de $x\mapsto\sin(1/x)$ cerca de $x=0$.

Volver a tu segunda pregunta, Chern y Folland las definiciones son idénticas ya que ambos requieren $D^kf$ ser continua para $f$ a pertenecer a $C^k$, como se debe.

Edición Debido a una radical modificación de la pregunta, el anterior solo en parte se aplica a la versión actual de la cuestión. Gran...

Sin embargo, uno puede decir esto: el caso de $m\ge2$ no puede dar mejores resultados, considerar simplemente una función como $(f,0,0,\ldots,0)$ donde $f$ es un contraejemplo al $m=1$.