Folland, Capítulo 1 Problema 17

Question

Problema 17: Si $\mu^*$ es una medida exterior en $X$ $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$ es una secuencia de disjuntas $\mu^*$medible de conjuntos, a continuación, $\mu^*(E\cap \cup_{j=1}^{\infty} A_j)=\sum_{j=1}^{\infty}(E\cap A_j)$ cualquier $E\subset X$.

Me las he arreglado para demostrar que la afirmación es verdadera si $\mu(E)<+\infty$, mostrando que

$$\mu^*(E)\ge \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_j)+\mu^*(E\cap B^C),$$

donde $B=\cup_{j=1}^{\infty}A_j$, y además, que

$$\mu^*(E)=\mu^*(E\cap B)+\mu^*(E\cap B^C).$$

Ahora, si $\mu^*(E)<+\infty$, puedo sustituir el último resultado en la anterior desigualdad, a continuación, reste $\mu^*(E\cap B^C)$ desde ambos lados del resultado, ya que soy de restar un número finito. El resultado es,

$$\mu^*(E\cap B)\ge \sum_{j=1}^{\infty} \mu^*(E\cap A_j),$$

que es equivalente a

$$\mu^*(E\cap \cup_{j=1}^{\infty} A_j)\ge \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_j).$$

Finalmente, debido a que $\mu^*$ es una medida exterior, he fácilmente que

$$\mu^*(E\cap \cup_{j=1}^{\infty} A_j)=\mu^*(\cup_{j=1}^{\infty}(E\cap A_j))\le \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_j).$$

Sin embargo, he fracasado en probar el resultado si $\mu^*(E)=\infty$. Tal vez no es cierto? Contraejemplo?

Los pensamientos?

Answer 1

Sugerencia: Los casos distinguiría se $\mu^*(E\cap \bigcup_{i=1}^\infty A_i) <+\infty$$\mu^*(E\cap \bigcup_{i=1}^\infty A_i) =+\infty$, en lugar de $\mu^*(E) = +\infty$$\mu^*(E) < +\infty$.

O dicho de otra manera, que bien podría sustituir a $E \to E\cap \bigcup_{i=1}^\infty A_i$, ya que la parte de $E$ fuera de $\bigcup_{i=1}^\infty A_i$ no tiene ninguna relevancia.