Convexidad del producto de dos funciones en dimensiones superiores

Question

Ejercicio 3.32 página 119 de Optimización convexa se refiere a la prueba de que si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto f(x)$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto g(x)$ son convexos, no decrecientes (o no crecientes) y positivos, entonces $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto h(x)=f(x)g(x)$ también es convexo.

¿Existen generalizaciones o analogías de esta afirmación con el caso en que ambos $f$ y $g$ son funciones convexas que asignan elementos de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ para cualquier $n>1$ ?

Answer 1

Sí es posible una generalización. He aquí una aproximación elemental a la convexidad del producto de dos funciones convexas no negativas definidas sobre un dominio convexo de $\mathbb{R}^n$ .

Elija $x$ y $y$ en el dominio y $t$ en $[0,1]$ . Su objetivo es demostrar que $\Delta\ge0$ con $$\Delta=t(fg)(x)+(1-t)(fg)(y)-(fg)(tx+(1-t)y). $$ Pero $f$ y $g$ son no negativos y convexos, por lo que $$ (fg)(tx+(1-t)y)\le(tf(x)+(1-t)f(y))(tg(x)+(1-t)g(y)). $$ Utilizando esto y algunas manipulaciones algebraicas fáciles, se ve que $\Delta\ge t(1-t)D(x,y)$ con $$ D(x,y)=f(x)g(x)+f(y)g(y)-f(x)g(y)-f(y)g(x), $$ es decir, $$ D(x,y)=(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)). $$ Esto demuestra una generalización del resultado que has citado a cualquier producto de funciones convexas no negativas $f$ y $g$ tal que $D(x,y)\ge0$ por cada $x$ y $y$ en el ámbito de $f$ y $g$ .

En particular, si $f$ y $g$ son diferenciables en un punto $x$ en el dominio, se pide que sus gradientes $\nabla f(x)$ y $\nabla g(x)$ son tales que $z^*M(x)z\ge0$ por cada $n\times 1$ vector $z$ , donde $M(x)$ es el $n\times n$ matriz $$ M(x)=\nabla f(x)\cdot(\nabla g(x))^*. $$