La prueba de Que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ No Es un $F_{\sigma}$

Question

Estoy tratando de demostrar que el conjunto de los números irracionales $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ no es un $F_{\sigma}$. Aquí está mi intento:

Supongamos que, efectivamente,$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$F_{\sigma}$. Entonces podemos escribir como una contables de la unión de subconjuntos cerrados $C_i$: $$ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \ C_i $$ Pero $\text{int} ( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \emptyset$, lo que en realidad cada una de las $C_i$ ha vacío interior. Pero, a continuación, cada una de las $C_i$ es denso en ninguna parte, por lo tanto $ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \ C_i$ is thin. But we know $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ es gruesa, una contradicción.

Esto parece un poco demasiado simple. Miré esta línea, y aunque no he encontrado la solución en cualquier lugar, muchas veces hay una pista: el Uso del Teorema de Baire. He saltado un paso importante que debo explicar más o Baire Teorema utilizado implícitamente en mi prueba? O es mi prueba de mal? Gracias.

EDIT: Fina y gruesa podría no ser el estándar de la mayoría de los términos así:

Delgado = magro = 1 de categoría de Baire

Answer 1

Su solución es correcta. También se podría argumentar que $\mathbb{R} = \bigcup_{i =1}^{\infty} C_{i} \cup \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \{q\}$, así que por Baire una de las $C_{i}$ debe tener no-vacío interior, contradiciendo el hecho de que $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q}$ ha vacío interior.

Answer 2

Supongamos $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$F_{\sigma}$. A continuación, $\mathbb{Q}$ $G_{\delta}$ set, lo cual es una contradicción. En otras palabras, supongamos $$ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \ C_i $$ Then by Demorgan's Laws $$ \mathbb{Q} = \bigcap_{i=1}^{\infty} \ C_i^{c} $$ which is a contradiction since $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ is a countable intersection of open sets and we know that the intersection between the rational is irrationals is $\emptyset$. So $\emptyset$ es una contables intersección de abiertos densos subconjuntos que contradice de categoría de Baire teorema.